Пермутација је техника бројања која се користи за одређивање колико начина постоји за уређивање елемената коначног скупа. Направити размену значи извршити размену, а у комбинаторичким проблемима то значи размену елемената места, с обзиром на њихов поредак.
Ове технике су део подручја математике које се назива Комбинаторна анализа, а чији је циљ познавање и бројање различитих начина организовања скупова и њихових елемената. Једноставна пермутација и а са поновљеним елементима решавају ову категорију проблема.
једноставна пермутација
Једноставна пермутација је редослед елемената коначног скупа, када су њихови елементи се не понављају, су различити. Користи се за одређивање количине ових врста.
Износ пермутација скупа од н елемената једнако је н! (чита н факторијел).
Формула за одређивање броја једноставних пермутација је
Размотримо скуп са н елемената. Да бисмо их организовали у ред, треба да изаберемо првог, а за то имамо н могућности. Да бисмо изабрали другог, имамо (н-1) могућности, једну мање, јер смо већ користили опцију приликом избора прве. Овај процес се наставља све док не остане само један елемент.
Да бисмо одредили укупан број пермутација, множимо број могућности које постоје при одабиру сваког елемента. Тако:
Горњи израз назива се факторијем од н и користимо симбол не!.
Сазнајте више о факторијел овде.
Пример:
Различити начини организовања слова речи називају се анаграми. Колико анаграма постоји за реч ПАТКА?
Ово су могућности:
Дакле, пошто реч ПАТО има 4 слова, морамо
Дакле, постоје 24 једноставне пермутације за реч ПАТКА.
Једноставне пермутационе вежбе
Питање 1
Израчунај вредност .
питање 2
Размотрите ред људи који први дођу, први их услуже, где у било ком тренутку има шест људи. На колико различитих начина би се ти људи могли рангирати од првог до последњег?
Сваки образац за наручивање је једноставна пермутација, јер су појединци јединствени и не понављају се. Дакле, код шест људи одговор је пермутација са 6 елемената.
питање 3
Размислите о речи ВИЛИЦА и одговорите на следећа питања?
а) Колико је анаграма речи ВИЉУШКА?
Како се слова не понављају, ово је једноставан случај пермутације од 5 елемената.
б) Колико анаграма започиње словом А?
У овом случају поправљамо слово А на почетку и израчунавамо пермутације словима ГРФО, која су пермутације 4 елемента.
1 могућност за слово А к .
в) Колико има анаграма ако су самогласници увек један поред другог?
Једна могућност би била Г Р Ф А О.
Постоје три начина за слагање сугласника. П3 = 3 к 2 к 1 = 6
Постоје два начина за уређивање самогласника. П2 = 2 к 1 = 2
Постоје још два начина за организовање група (сугласника и самогласника) међу собом. П2 = 2 к 1 = 2
Сада само помножите резултате.
П3 к П2 к П2 = 6 к 2 к 2 = 24
Дакле, постоје 24 анаграма где су самогласници увек заједно.
Пермутација са понављањем
Пермутација са поновљеним елементима се дешава када су у скупу од н елемената неки од њих једнаки.
У формули за одређивање броја пермутација са понављањем делимо факторијел укупног броја н елемената са производом факторала понављајућих елемената.
је број пермутација н елемената.
то су бројеви елемената сваке врсте који се понављају.
је факторијел укупног броја елемената н.
Примери
Одредимо колико пермутација постоји за реч ЕГГ. Да бисмо то олакшали, обојимо слова. Погледајмо анаграме речи ЕГГ.
Број једноставних пермутација са 3 елемента дат је са
Међутим, неке пермутације се понављају и не можемо их избројати два пута. За ово морамо поделити вредност (јер реч има три слова), би
(јер се слово О понавља два пута).
Дакле, број пермутација за слова речи ОВО једнак је 3.
Погледајмо овај други пример где ћемо дефинисати број пермутација за слова речи БАНАНА.
Где:
означава пермутацију са 6 елемената где се слова А и Н понављају.
3! јер се слово А понавља три пута.
2! јер се слово Н понавља два пута.
Савет за олакшавање израчунавања је развијање 6! док не достигнете 3!, поједностављујући називником. Погледајте развој.
Дакле, број пермутација за слова у речи БАНАНА једнак је 60.
Можда сте заинтересовани за ове садржаје из комбинационе анализе:
Комбинаторичка анализа
Вежбе из комбинационе анализе
