Подручје равних фигура: Решене и коментарисане вежбе

Равно подручје фигуре представља опсег продужетка фигуре у равни. Као равне фигуре можемо између осталих поменути троугао, правоугаоник, ромб, трапез, круг.

Користите доња питања да бисте проверили своје знање о овом важном предмету геометрије.

Решена питања на конкурсу

Питање 1

(Цефет / МГ - 2016) Квадратна површина локације мора бити подељена на четири једнака дела, такође квадратна, и, у једном од њих мора се одржавати изворни шумски резерват (излежено подручје), као што је приказано на слици а пратити.

Знајући да је Б средња тачка сегмента АЕ, а Ц средња тачка сегмента ЕФ, шрафирана површина, у м², дај ми

а) 625,0.
б) 925,5.
в) 1562,5.
г) 2500,0.

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: в) 1562.5.

Посматрајући фигуру, примећујемо да шрафирана површина одговара површини квадрата са страницом 50 м минус површину троуглова БЕЦ и ЦФД.

Мерење странице БЕ, троугла БЕЦ, једнако је 25 м, јер тачка Б дели страницу на два подударна сегмента (средња тачка сегмента).

Исто се дешава са страницама ЕЦ и ЦФ, односно њихова мерења су такође једнака 25 м, јер је тачка Ц средња тачка сегмента ЕФ.

Тако можемо израчунати површину троуглова БЕЦ и ЦФД. Узимајући у обзир две странице познате као основа, друга страна ће бити једнака висини, јер су троуглови правоугаоници.

Израчунавајући површину квадрата и троуглова БЕЦ и ЦФД, имамо:

Стога се излежено подручје, у м², мере 1562,5.

питање 2

(Цефет / РЈ - 2017) Квадрат са х страницом и једнакостранични троугао са и страницом имају површине исте мере. Дакле, може се рећи да је однос к / и једнак:

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: .

Информације дате у проблему су да су подручја иста, то јест:

Површина троугла налази се множењем основног мерења мерењем висине и дељењем резултата са 2. Будући да је троугао једнакостраничан и страница једнака и, његова висинска вредност је дата са:

Стога се може рећи да је однос к / и једнак .

питање 3

(ИФСП - 2016) Јавни трг у облику круга има радијус од 18 метара. У светлу горе наведеног, означите алтернативу која представља ваше подручје.

а) 1.017,36 м²
б) 1.254,98 м²
в) 1.589,77 м²
г) 1.698,44 м²
д) 1.710,34 м²

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: а) 1 017, 36 м².

Да бисмо пронашли површину квадрата, морамо користити формулу за површину круга:

А = π.Р²

Замењујући вредност радијуса и узимајући у обзир π = 3,14, проналазимо:

А = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1 017, 36 м²

Дакле, квадратна површина је 1 017, 36 м².

питање 4

(МСФИ - 2016) Правоугаоник има к и и димензије, које се изражавају к једначинама² = 12 и (и - 1)² = 3.

Опсег и површина овог правоугаоника су респективно

а) 6√3 + 2 и 2 + 6√3
б) 6√3 и 1 + 2√3
в) 6√3 + 2 и 12
г) 6 и 2√3
д) 6√3 + 2 и 2√3 + 6

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: е) 6√3 + 2 и 2√3 + 6.

Прво решимо једначине да бисмо пронашли вредности к и и:

Икс²= 12 ⇒ к = √12 = √4.3 = 2√3
(и - 1) ²= 3 ⇒ и = √3 + 1

Опсег правоугаоника биће једнак збиру свих страница:

П = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Да бисте пронашли површину, само помножите к.и:

А = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Према томе, обим и површина правоугаоника су 6√3 + 2 и 2√3 + 6.

питање 5

(Аппрентице Саилор - 2016) Анализирајте следећу фигуру:

Знајући да је ЕП радијус средишњег полукруга у Е, као што је приказано на горњој слици, одредите вредност најтамнијег подручја и проверите тачну опцију. Подаци: број π = 3

а) 10 цм²
б) 12 цм²
в) 18 цм²
г) 10 цм²
д) 24 цм²

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) 12 цм².

Најтамнија површина се добија додавањем површине полукружне површине површини троугла АБД. Почнимо са израчунавањем површине троугла, за то имајте на уму да је троугао правоугаоник.

Назовимо АД страну к и израчунајмо њену меру користећи Питагорину теорему, као што је назначено доле:

5²= к² + 3²
Икс² = 25 - 9
к = √16
к = 4

Познавајући бочну меру АД, можемо израчунати површину троугла:

Још увек морамо израчунати површину полукруг. Имајте на уму да ће његов радијус бити једнак половини мерења на АД страни, па је р = 2 цм. Површина полукружног круга биће једнака:

Најмрачније подручје наћи ћете тако што ћете урадити: А._Т. = 6 + 6 = 12 цм²

Стога је вредност најтамнијег подручја 12 цм².

питање 6

(Енем - 2016) Мушкарац, отац двоје деце, жели да купи две парцеле, са површинама исте мере, по једну за свако дете. Једно од посећених површина већ је разграничено и, иако нема уобичајени формат (као што је приказано на слици Б), обрадовало је најстаријег сина и, према томе, купљено је. Најмлађи син има архитектонски пројекат за кућу коју жели да сагради, али за то му треба терена правоугаоног облика (као што је приказано на слици А) чија је дужина 7 м дужа од ширина.

Да би задовољио најмлађег сина, овај господин треба да пронађе правоугаони комад земље чија су мерења у метрима, дужини и ширини једнака

а) 7.5 и 14.5
б) 9.0 и 16.0
в) 9.3 и 16.3
г) 10,0 и 17,0
д) 13,5 и 20,5

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) 9.0 и 16.0.

Пошто је површина слике А једнака површини слике Б, прво израчунајмо ову површину. За ово, поделимо слику Б, као што је приказано доле:

Имајте на уму да приликом дељења фигуре имамо два правоугла троугла. Према томе, површина слике Б биће једнака збиру површина ових троуглова. Израчунавајући ове површине, имамо:

Будући да је слика А правоугаоник, њена површина се проналази на следећи начин:

ТХЕ_ТХЕ = к. (к + 7) = к² + 7к

Изједначавајући површину слике А са пронађеном вредношћу за површину слике Б, налазимо:

Икс² + 7к = 144
Икс² + 7к - 144 = 0

Решимо једначину 2. степена користећи Бхаскара-ову формулу:

Како мера не може бити негативна, узмимо само у обзир вредност једнаку 9. Према томе, ширина земљишта на слици А биће једнака 9 м, а дужина 16 м (9 + 7).

Према томе, мерења дужине и ширине морају бити једнаке 9,0 односно 16,0.

питање 7

(Енем - 2015) Компанија за мобилне телефоне има две антене које ће бити замењене новом, моћнијом. Подручја покривања антена које ће бити замењене су кругови полупречника 2 км, чији су обим тангенти на тачку О, као што је приказано на слици.

Тачка О означава положај нове антене, а подручје покривености биће јој круг чији ће обим споља додиривати обим мањих подручја покривености. Уградњом нове антене, мерење површине покривености, у квадратним километрима, проширено је за

а) 8 π
б) 12 π
в) 16 π
г) 32 π
д) 64 π

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: а) 8 π.

Увећање мерења подручја покривања наћи ће се смањењем површина мањих кругова већег круга (мислећи на нову антену).

Како се обим новог подручја покривања споља додирује са мањим обимима, његов радијус ће бити једнак 4 км, као што је приказано на доњој слици:

Израчунајмо површине А.₁ и₂ мањих кругова и површина А.₃ из већег круга:

ТХЕ₁ = А₂ = 2². π = 4 π
ТХЕ₃ = 4².π = 16 π

Мерење увећане површине наћи ће се на следећи начин:

А = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Због тога је уградњом нове антене мера површине покривања, у квадратним километрима, повећана за 8 π.

питање 8

(Енем - 2015) Дијаграм И приказује конфигурацију кошаркашког терена. Сиви трапезоиди, звани карбони, одговарају ограниченим областима.

У циљу испуњавања смерница Централног комитета Међународне кошаркашке федерације (Фиба) из 2010. године, које су објединиле ознаке различитих легура, предвиђена је модификација карбонских плоча, која ће постати правоугаоници, као што је приказано у шеми ИИ.

Након извршења планираних промена, дошло је до промене на површини коју заузима сваки угљеник, што одговара (а)

а) пораст од 5800 цм².
б) повећање од 75 400 цм².
в) пораст од 214 600 цм².
г) смањење од 63 800 цм².
д) смањење од 272 600 цм².

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: а) повећање од 5800 цм².

Да бисмо сазнали која је промена била на окупираном подручју, израчунајмо површину пре и после промене.

У прорачуну шеме И користићемо формулу за подручје трапеза. У дијаграму ИИ користићемо формулу за површину правоугаоника.

Тада ће промена површине бити:

А = А_ИИ - А_Ја
А = 284 200 - 278 400 = 5800 цм²

Према томе, након извршених планираних модификација, дошло је до промене површине коју заузима сваки угљеник, што одговара повећању од 5800 цм².

Предложене вежбе (са резолуцијом)

питање 9

Ана је одлучила да у својој кући изгради правоугаони базен димензија 8 м, висине 5 м. Свуда око њега, у облику трапеза, био је испуњен травом.

Знајући да је висина трапеза 11 м, а основе 20 м и 14 м, колика је површина дела који је био испуњен травом?

а) 294 м²
б) 153 м²
в) 147 м²
г) 216 м²

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: в) 147 м².

Како се правоугаоник, који представља базен, убацује унутар веће фигуре, трапеза, почнимо од израчунавања површине спољне фигуре.

Површина трапеза израчунава се помоћу формуле:

Где,

Б је мера највеће базе;
б је мера најмање основе;
х је висина.

Заменом података извода у формули имамо:

Сада, израчунајмо површину правоугаоника. За то само треба да помножимо базу са висином.

Да бисмо пронашли површину прекривену травом, потребно је да од простора трапеза одузмемо простор који заузима базен.

Стога је површина испуњена травом износила 147 м².

Види и ти: Подручје трапеза

питање 10

Да би обновио кров свог магацина, Царлос је одлучио да купи колонијалне плочице. Коришћењем ове врсте крова потребно је 20 комада по квадратном метру крова.

Ако кров места чине две правоугаоне плоче, као на горњој слици, колико плочица треба да купи Царлос?

а) 12000 плочица
б) 16000 плочица
в) 18000 плочица
г) 9600 плочица

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) 16000 плочица.

Кров магацина је направљен од две правоугаоне плоче. Због тога морамо израчунати површину правоугаоника и помножити са 2.

Дакле, укупна површина крова је 800 м.². Ако сваком квадратном метру треба 20 плочица, помоћу једноставног правила од три израчунавамо колико плочица испуњава кров сваког складишта.

Због тога ће бити потребно купити 16 хиљада плочица.

Види и ти: Подручје правоугаоника

питање 11

Марциа би желела да две идентичне дрвене вазе украсе улаз у њену кућу. Пошто је могла да купи само једног од својих најдражих, одлучила је да ангажује шалтера да направи другу вазу истих димензија. Ваза мора имати четири странице у једнакокраком трапезоидном облику, а основа је квадратна.

Не узимајући у обзир дебљину дрвета, колико ће квадратних метара дрвета бити потребно за репродукцију комада?

а) 0,2131 м²
б) 0,1311 м²
в) 0,2113 м²
г) 0,3121 м²

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: г) 0,3121 м².

Једнакокраки трапез је тип који има једнаке странице и основе различитих величина. Са слике имамо следећа мерења трапеза на свакој страни посуде:

Мања основа (б): 19 цм;
Већа основа (Б): 27 цм;
Висина (в): 30 цм.

Са вредностима у руци израчунавамо површину трапеза:

Како посуду чине четири трапеза, површину која је пронађена морамо помножити са четири.

Сада треба да израчунамо основу вазе, коју чини квадрат од 19 цм.

Збрајањем израчунатих површина добијамо укупну површину дрвета за изградњу.

Међутим, површину треба представити у квадратним метрима.

Због тога је, не узимајући у обзир дебљину дрвета, било потребно 0,3121 м² материјала за производњу вазе.

Види и ти: Скуаре Ареа

питање 12

Да би се олакшало израчунавање броја људи који учествују у јавним догађајима, обично се сматра да један квадратни метар заузимају четири особе.

Да би прославила годишњицу града, градска влада је унајмила бенд који ће свирати на тргу који се налази у центру, који има површину од 4000 м². Знајући да је трг препун, отприлике колико је људи присуствовало догађају?

а) 16 хиљада људи.
б) 32 хиљаде људи.
в) 12 хиљада људи.
г) 40 хиљада људи.

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: а) 16 хиљада људи.

Квадрат има четири једнаке странице и површина му се израчунава по формули: А = Л к Л.

ако за 1 м² заузимају га четири особе, па нам четворострука укупна површина квадрата даје процену људи који су присуствовали догађају.

Тако је 16 хиљада људи учествовало у догађају који је промовисала градска кућа.

Да бисте сазнали више, погледајте такође:

• Равне фигуре
• Геометријски облици
• Питагорина теорема - вежбе