Средње, модус и средња вредност су мере централне тенденције коришћене у статистици.
Просек
Просек (М.и) израчунава се додавањем свих вредности у скупу података и дељењем са бројем елемената у том скупу.
Како је средња вредност мера осетљива на вредности узорка, она је погоднија за ситуације у којима се подаци дистрибуирају мање или више равномерно, односно вредности без великих одступања.
Формула
Бити,
М.и: просек
Икс1, Икс2, Икс3,..., Иксне: вредности података
н: број елемената скупа података
Пример
Играчи кошаркашког тима имају следеће узрасте: 28, 27, 19, 23 и 21 годину. Која је просечна старост овог тима?
Решење
Прочитајте и ви Једноставни просек и пондерисани просек и Геометријска средина.
Мода
Мода (М.О.) представља најчешћу вредност скупа података, па је за његово дефинисање довољно посматрати учесталост појављивања вредности.
Скуп података назива се бимодални када има два начина, односно две вредности су чешће.
Пример
У продавници ципела за један дан продати су следећи бројеви ципела: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 и 41. Која је модна вредност овог узорка?
Решење
Посматрајући продате бројеве, приметили смо да је број 36 онај са највећом фреквенцијом (3 пара), па је режим једнак:
М.О. = 36
медијана
Медијан (М.д) представља основну вредност скупа података. Да бисте пронашли средњу вредност, потребно је да их поставите у растућем или опадајућем редоследу.
Када је број елемената у скупу паран, медијана се проналази у просеку две централне вредности. Дакле, ове вредности се додају и деле са два.
Примери
1) У школи је наставник физичког васпитања записао висину групе ученика. С обзиром да су измерене вредности биле: 1,54 м; 1,67м, 1,50м; 1,65м; 1,75м; 1,69м; 1,60 м; 1,55 м и 1,78 м, колика је средња висина ученика?
Решење
Прво морамо довести вредности у ред. У овом случају поставићемо је у растућем редоследу. Тако ће скуп података бити:
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78
Како се скуп састоји од 9 елемената, што је непаран број, тада ће медијана бити једнака 5. елементу, то јест:
М.д = 1,65 м
2) Израчунајте медијану вредности следећег узорка података: (32, 27, 15, 44, 15, 32).
Решење
Прво треба да доведемо податке у ред, па имамо:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Како се овај узорак састоји од 6 елемената, што је паран број, медијана ће бити једнака просеку централних елемената, то јест:
Да бисте сазнали више, такође прочитајте:
- Статистичка
- Мере дисперзије
- Варијанса и стандардна девијација
Решене вежбе
1. (ББ 2013 - Фондација Царлос Цхагас). У прва четири радна дана у недељи, директор филијале банке опслуживао је 19, 15, 17 и 21 клијента. Петог радног дана ове недеље овај менаџер је присуствовао н купцима.
Ако је просечни дневни број купаца које је овај менаџер опслуживао у пет радних дана ове недеље био 19, медијана је била
а) 21.
б) 19.
ц) 18.
д) 20.
д) 23.
Иако већ знамо просек, прво морамо да знамо број купаца који су услужени петог радног дана. Тако:
Да бисмо пронашли медијану, вредности морамо ставити у растући редослед, тако да имамо: 15, 17, 19, 21, 23. Стога је средња вредност 19.
Алтернатива: б) 19.
2. (ЕНЕМ 2010 - Питање 175 - Прова Роса). Табела испод приказује учинак фудбалског тима у прошлом првенству.
Лева колона приказује број постигнутих голова, а десна колона вам говори у колико је утакмица тим постигао тај број голова.
| Голови постигнути | Број подударања |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1 |
Ако су Кс, И и З, средња вредност, средња вредност и начин ове расподеле, онда
а) Кс = И б) З ц) И д) З д) З
Морамо израчунати средњу вредност, медијану и модус. Да бисмо израчунали просек, морамо додати укупан број голова и поделити са бројем утакмица.
Укупан број голова наћи ће се множењем броја постигнутих голова бројем утакмица, односно:
Укупни циљеви = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45
Ако је укупан број утакмица једнак 20, просек голова биће једнак:
Да бисмо пронашли модну вредност, проверимо најчешће бројање голова. У овом случају напомињемо да у 5 мечева није постигнут ниједан гол.
После овог резултата, мечеви који су имали 2 гола били су најчешћи (укупно 4 меча). Стога,
З = М.О. = 0
Медијана ће се наћи стављањем бројева голова у ред. Како је број игара био једнак 20, што је парна вредност, морамо израчунати просек између две централне вредности, па имамо:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Са овим резултатима знамо да:
Кс (просек) = 2,25
И (медијана) = 2
З (режим) = 0
Односно З.
Алтернатива: е) З.
Види и ти:
- Врсте графике
- Стандардна девијација
- Статистика - вежбе
- Математика у непријатељу
