Једно једначина другог степена је цела једначина у облику секира2 + бк + ц = 0, са а, б и ц реалним бројевима и а = 0. Да бисте решили једначину овог типа, можете користити различите методе.
Искористите резолуције коментарисане у доњим вежбама да бисте разјаснили све своје сумње. Обавезно тестирајте своје знање са решеним конкурсним питањима.
Коментарисане вежбе
Вежба 1
Узраст моје маме помножен са мојим годинама је 525. Ако је кад сам се родила моја мајка имала 20 година, колико имам година?
Решење
С обзиром на моје године једнаке Икс, тада можемо сматрати да је старост моје мајке једнака к + 20. Како онда знати вредност производа нашег доба, онда:
Икс. (к + 20) = 525
Примена на дистрибутивна својства множења:
Икс2 + 20 к - 525 = 0
Затим долазимо до потпуне једначине 2. степена, са а = 1, б = 20 и ц = - 525.
Да бисмо израчунали корене једначине, односно вредности к где је једначина једнака нули, употребимо Бхаскара-ову формулу.
Прво морамо израчунати вредност ∆:
За израчунавање корена користимо:
Заменом вредности у горњој формули, наћи ћемо корене једначине, овако:
Како моје године не могу бити негативне, презиремо вредност -35. Дакле, резултат је 15 година.
Вежба 2
Квадрат, представљен на доњој слици, има правоугаони облик и његова површина је једнака 1 350 м2. Знајући да његова ширина одговара 3/2 висине, одредите димензије квадрата.
Решење
С обзиром да је његова висина једнака Икс, тада ће ширина бити једнака 3 / 2к. Површина правоугаоника израчунава се множењем његове базе са вредношћу висине. У овом случају имамо:
Долазимо до непотпуне једначине 2. степена, са а = 3/2, б = 0 и ц = - 1350, можемо израчунати ову врсту једначине изоловањем к и израчунавањем вредности квадратног корена.
Како вредност к представља меру висине, занемарићемо - 30. Дакле, висина правоугаоника једнака је 30 м. Да бисмо израчунали ширину, помножимо ову вредност са 3/2:
Према томе, квадратна ширина је једнака 45 м а висина му је једнака 30 м.
Вежба 3
Дакле, к = 1 је корен једначине 2ак2 + (2.2 - а - 4) к - (2 + а2) = 0, вредности а требале би бити:
а) 3 и 2
б) - 1 и 1
в) 2 и - 3
г) 0 и 2
е) - 3 и - 2
Решење
Да бисмо пронашли вредност а, заменимо прво к са 1. На овај начин једначина ће изгледати овако:
2.а.12 + (2.2 - до - 4). 1 - 2 - а2 = 0
2. + 2.2 - до - 4 - 2 - до2 = 0
Тхе2 + до - 6 = 0
Сада морамо израчунати корен комплетне једначине 2. степена, за то ћемо користити Бхаскарину формулу.
Стога је исправна алтернатива слово Ц..
Питања за такмичење
1) Епцар - 2017
Размотримо у ℝ једначину (м+2) к2 - 2мк + (м - 1) = 0 у променљивој к, где м је стварни број који није - 2.
Прегледајте доленаведене изјаве и оцените их као В (ИСТИНИТО) или Ф (ФАЛСЕ).
() За све м> 2 једначина има празан скуп решења.
() Постоје две стварне вредности м да би једначина признала једнаке корене.
() У једначини, ако је ∆> 0, тада м може попримити само позитивне вредности.
Тачан редослед је
а) В - В - В.
б) Ф - В - Ф.
в) Ф - Ф - В
д) В - Ж - Ж
Погледајмо сваку од изјава:
За све м> 2 једначина има празан скуп решења
Будући да је једначина другог степена у ℝ, неће имати решења када је делта мања од нуле. Израчунавајући ову вредност, имамо:
Дакле, прва изјава је тачна.
Постоје две стварне вредности м да би једначина признала једнаке корене.
Једначина ће имати једнаке стварне корене када је Δ = 0, то јест:
- 4м + 8 = 0
м = 2
Према томе, изјава је нетачна јер постоји само једна вредност м где су корени стварни и једнаки.
У једначини, ако је ∆> 0, тада м може попримити само позитивне вредности.
За Δ> 0 имамо:
Будући да у скупу бесконачних реалних бројева има негативних бројева мањих од 2, изјава је такође нетачна.
Алтернатива д: В-Ж-Ж
2) Цолтец - УФМГ - 2017
Лаура мора да реши једначину 2. степена у „кући“, али схвата да је приликом копирања са табле у бележницу заборавила да копира коефицијент к. Да би решио једначину, записао ју је на следећи начин: 4к2 + секира + 9 = 0. Пошто је знала да једначина има само једно решење, а ово позитивно, успела је да одреди вредност а, која је
а) - 13
б) - 12
ц) 12
д) 13
Када једначина 2. степена има једно решење, делта, из Бхаскарине формуле, једнака је нули. Да би се пронашла вредност Тхе, само израчунајте делту, изједначавајући њену вредност са нулом.
Дакле, ако је а = 12 или а = - 12, једначина ће имати само један корен. Међутим, још увек морамо да проверимо коју од вредности Тхе резултат ће бити позитиван корен.
За то, пронађимо корен, за вредности од Тхе.
Дакле, за а = -12 једначина ће имати само један корен и позитив.
Алтернатива б: -12
3) Енем - 2016
Тунел мора бити заптивен бетонским поклопцем. Попречни пресек тунела и бетонски поклопац имају контуре лука параболе и исте димензије. Да би утврдио трошкове рада, инжењер мора израчунати површину испод дотичног параболичног лука. Користећи хоризонталну осу у нивоу тла и осу симетрије параболе као вертикалну осу, добио је следећу једначину за параболу:
и = 9 - к2, где се к и и мере у метрима.
Познато је да је површина испод овакве параболе једнака 2/3 површине правоугаоника чије су димензије једнаке основи и висини улаза у тунел.
Колика је површина предњег дела бетонског поклопца, у квадратним метрима?
а) 18
б) 20
ц) 36
д) 45
д) 54
Да бисмо решили овај проблем, морамо да пронађемо мере основе и висине улаза у тунел, као проблем нам говори да је површина фронта једнака 2/3 површине правоугаоника са овим димензијама.
Ове вредности ће се наћи из дате једначине 2. степена. Парабола ове једначине има удубљеност окренута надоле, јер је коефицијент Тхе је негативан. Испод је приказ ове параболе.
Из графикона можемо видети да ће се мера основе тунела наћи израчунавањем корена једначине. Већ његова висина биће једнака мери врха.
Да бисмо израчунали корене, примећујемо да је једначина 9 - к2 је непотпун, па можемо наћи његове корене изједначавањем једначине са нулом и изоловањем к:
Због тога ће мерење основе тунела бити једнако 6 м, односно растојање између два корена (-3 и 3).
Гледајући граф, видимо да тачка темена одговара вредности на и оси да је к једнако нули, па имамо:
Сада када знамо мерења основе и висине тунела, можемо израчунати његову површину:
Алтернатива ц: 36
4) Цефет - РЈ - 2014
За коју вредност „а“ једначина (к - 2). (2ак - 3) + (к - 2). (- ак + 1) = 0 има два корена и једнака?
до 1
б) 0
ц) 1
д) 2
Да би једначина 2. степена имала два једнака корена, неопходно је да је Δ = 0, односно б2-4ац = 0. Пре израчунавања делте треба да напишемо једначину у облику ак2 + бк + ц = 0.
Можемо започети применом дистрибутивног својства. Међутим, примећујемо да се (к - 2) понавља у оба термина, па ставимо то на увид:
(к - 2) (2ак -3 - ак + 1) = 0
(к - 2) (ак -2) = 0
Сада, дистрибуирајући производ, имамо:
секира2 - 2к - 2ак + 4 = 0
Израчунавањем Δ и једнаком нули налазимо:
Дакле, када је а = 1, једначина ће имати два једнака корена.
Алтернатива ц: 1
Да бисте сазнали више, погледајте такође:
- Једначина другог степена
- Једначина првог степена
- Квадратна функција
- Квадратна функција - вежбе
- Линеарна функција
- Вежбе повезане функције
