Системи једначина 1. степена чине скуп једначина које представљају више од једне непознате.
Решавање система је проналажење вредности које истовремено задовољавају све ове једначине.
Многи проблеми се решавају системима једначина. Због тога је важно знати методе решавања за ову врсту прорачуна.
Искористите решене вежбе да бисте решили све своје недоумице у вези са овом темом.
Коментарисана и решена питања
1) Морнарски шегрти - 2017
Збир броја к и два пута броја и је - 7; а разлика између тројке тог броја к и броја и једнака је 7. Стога је тачно тврдити да је производ ки једнак:
а) -15
б) -12
в) -10
г) -4
е) - 2
Почнимо од изградње једначина узимајући у обзир ситуацију предложену у задатку. Тако имамо:
к + 2.и = - 7 и 3.к - и = 7
Вредности к и и морају истовремено да задовоље обе једначине. Стога они чине следећи систем једначина:
Овај систем можемо решити методом сабирања. Да бисмо то урадили, помножимо другу једначину са 2:
Сабирање две једначине:
Замењујући вредност к пронађену у првој једначини, имамо:
1 + 2и = - 7
2и = - 7 - 1
Тако ће производ ки бити једнак:
к.и = 1. (- 4) = - 4
Алтернатива: д) - 4
2) Војна школа / РЈ - 2014
Воз путује из једног града у други увек константном брзином. Када се путовање обавља са 16 км / х већом брзином, утрошено време се смањује за два и по сата, а када се путује са 5 км / х мањом брзином, потрошено време се повећава за један сат. Колика је удаљеност између ових градова?
а) 1200 км
б) 1000 км
в) 800 км
г) 1400 км
д) 600 км
Пошто је брзина константна, можемо користити следећу формулу:
Затим се удаљеност проналази на следећи начин:
д = в.т
За прву ситуацију имамо:
в1 = в + 16 и т1 = т - 2,5
Замена ових вредности у формули растојања:
д = (в + 16). (т - 2,5)
д = в.т - 2.5в + 16т - 40
Можемо заменити в.т са д у једначини и поједноставити:
-2,5в + 16т = 40
За ситуацију када се брзина смањује:
в2 = в - 5 и т2 = т + 1
Извођење исте замене:
д = (в -5). (т + 1)
д = в.т + в -5т -5
в - 5т = 5
Са ове две једначине можемо саставити следећи систем:
Решавајући систем методом супституције, изолујмо в у другој једначини:
в = 5 + 5т
Замена ове вредности у првој једначини:
-2,5 (5 + 5т) + 16т = 40
-12,5 - 12,5т + 16т = 40
3,5т = 40 + 12,5
3,5т = 52,5
Заменимо ову вредност да бисмо пронашли брзину:
в = 5 + 5. 15
в = 5 + 75 = 80 км / х
Да бисте пронашли удаљеност, једноставно помножите пронађене вредности брзине и времена. Тако:
д = 80. 15 = 1200 км
Алтернатива: а) 1200 км
3) Морнарски шегрти - 2016
Студент је платио ужину од 8 реала у 50 центи и 1 реала. Знајући да је за ову уплату студент користио 12 новчића, одреди, односно, износе од 50 центи и један прави новчић којим су платили ужину и означили тачну опцију.
а) 5 и 7
б) 4 и 8
в) 6 и 6
г) 7 и 5
д) 8 и 4
Узимајући у обзир к број кованица од 50 центи, и број кованица од 1 долар и плаћени износ од 8 реала, можемо написати следећу једначину:
0,5к + 1и = 8
Такође знамо да је при плаћању коришћено 12 новчића, па:
к + и = 12
Састављање и решавање система додавањем:
Замена пронађене вредности к у првој једначини:
8 + и = 12
и = 12 - 8 = 4
Алтернатива: е) 8 и 4
4) Цолегио Педро ИИ - 2014
Из кутије која садржи Б беле куглице и П црне куглице уклоњено је 15 белих куглица, а преостали између преосталих куглица је однос 1 беле према 2 црне. Затим је уклоњено 10 црнаца, остављајући у кутији одређени број куглица у омјеру од 4 бијеле према 3 црне. Систем једначина за одређивање вредности Б и П може се представити:
Узимајући у обзир прву ситуацију назначену у проблему, имамо следећу пропорцију:
Множећи ову пропорцију „укрштено“, имамо:
2 (Б - 15) = П.
2Б - 30 = П.
2Б - П = 30
Урадимо исто за следећу ситуацију:
3 (Б - 15) = 4 (П - 10)
3Б - 45 = 4П - 40
3Б - 4П = 45 - 40
3Б - 4П = 5
Састављајући ове једначине у систем, проналазимо одговор на проблем.
Алтернатива: а)
5) Фаетец - 2012
Карлос је за један викенд решио 36 математичких вежби више од Нилтона. Знајући да је укупан број вежби које су обе решиле 90, број вежби које је Царлос решио једнак је:
а) 63
б) 54
ц) 36
г) 27
е) 18
Узимајући у обзир к број вежби које је решио Царлос, а и број вежби које је решио Нилтон, можемо поставити следећи систем:
Заменом к са и + 36 у другој једначини имамо:
и + 36 + и = 90
2и = 90 - 36
Замена ове вредности у првој једначини:
к = 27 + 36
к = 63
Алтернатива: а) 63
6) Енем / ЗЈН - 2015
Шатор за гађање забавног парка учеснику ће доделити награду у износу од 20 Р $, сваки пут када погоди мету. С друге стране, сваки пут када промаши мету, мора да плати 10,00 долара. Нема почетне накнаде за играње игре. Један учесник је испалио 80 хитаца и на крају је добио 100,00 Р $. Колико пута је овај учесник погодио мету?
а) 30
б) 36
ц) 50
г) 60
д) 64
Где је к број хитаца који су погодили мету, а и број погрешних хитаца, имамо следећи систем:
Овај систем можемо решити методом сабирања, помножићемо све чланове друге једначине са 10 и додати две једначине:
Због тога је учесник погодио мету 30 пута.
Алтернатива: а) 30
7) Енем - 2000
Осигуравајућа компанија прикупила је податке о аутомобилима у одређеном граду и открила да се годишње украде у просеку 150 аутомобила. Број украдених аутомобила марке Кс двоструко је већи од броја украдених аутомобила марке И, а марке Кс и И заједно чине око 60% украдених аутомобила. Очекивани број украдених аутомобила марке И је:
а) 20
б) 30
ц) 40
г) 50
д) 60
Проблем указује на то да је број украдених аутомобила марки к и и заједно еквивалентан 60% од укупног броја, па:
150.0,6 = 90
Узимајући у обзир ову вредност, можемо написати следећи систем:
Заменом вредности к у другој једначини имамо:
2и + и = 90
3и = 90
Алтернатива: б) 30
Погледајте такође: Вежбе на једначини 1. степена са непознатим