ТХЕ Карактеристична је једначина 2. степена за један полином степена 2, односно полином типа ак2+ бк + ц, где Тхе, Б. и ц су реални бројеви. Када решавамо једначину степена 2, занима нас проналажење вредности за непознато. Икс то чини вредност израза једнаком 0, који се називају корени, односно ак2 + бк + ц = 0.
Прочитајте и ви: Разлике између функције и једначине
Врсте једначина 2. степена
Једначина 2. степена може бити представљен са ак² + бк + ц = 0, где су коефицијенти Тхе, Б. и ц су стварни бројеви, са Тхе ≠ 0.
→ Примери
а) 2к2 + 4к - 6 = 0 → а = 2; б = 4 и ц = - 6
б) х2 - 5к + 2 = 0 → а = 1; б = - 5 и ц = 2
ц) 0,5к2 + к –1 = 0 → а = 0,5; б = 1 и ц = -1
Једначина 2. степена је класификована као комплетан када су сви коефицијенти различити од 0, тј. Тхе ≠ 0, Б. = 0 и ц ≠ 0.
Једначина 2. степена је класификована као непотпун када вредност коефицијената Б. или ц су једнаке 0, односно б = 0 или ц = 0.
→ Примери
а) 2к2 - 4 = 0 → а = 2; б = 0 и ц = - 4
б) -к2 + 3к = 0 → а = - 1; б = 3 и ц = 0
в) х2 = 0 → а = 1; б = 0 и ц = 0
Главу горе: вредност коефицијента Тхе никада није једнако 0, ако се то догоди, једначина више није 2. степен.
Како решити једначине 2. степена?
Решење једначине 2. степена се јавља када корење су пронађене, односно вредности додељене Икс. Ове вредности Икс мора учинити тачношћу једнакост, односно заменом вредности Икс у изразу резултат мора бити једнак 0.
→ Пример
Узимајући у обзир к једначину2 - 1 = 0 имамо да су к ’= 1 и к’ ’= - 1 решења једначине, јер заменом ових вредности у изразу имамо истинску једнакост. Погледајте:
Икс2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 и (–1)2 – 1 = 0
Да би се пронашло решење а једначина, потребно је анализирати да ли је једначина потпуна и непотпуна и одабрати која ће се метода користити.
Метода решења за једначине типа ак²+ ц = 0
Метода за одређивање решења непотпуних једначина које имају Б.=0састоји се од изоловања непознатог Икс, тако:
→ Пример
Пронађите корене једначине 3к2 – 27 = 0.
Ако желите да сазнате више о овој методи, идите на: Непотпуна једначина 2. степена са нулим коефицијентом б.
Метода решења за једначине типа секира2 + бк = 0
Метода за одређивање могућих решења једначине са ц = 0, састоји се од коришћења факторинг доказа. Погледајте:
секира2 + бк = 0
к · (ак + б) = 0
Када се посматра последња једнакост, приметно је да постоји множење и да је резултат 0, неопходно је да је бар један од фактора једнак 0.
к · (ак + б) = 0
к = 0 или ак + б = 0
Дакле, решење једначине дато је:
→ Пример
Одредити решење једначине 5к2 - 45к = 0
Ако желите да сазнате више о овој методи, идите на: непотпуна једначина 2. степена са нулим коефицијентом в.
Метода решења за комплетне једначине
Метода позната као Бхаскара метода или Бхаскара формула истиче да корени једначине 2. степена типа ак2 + бк + ц = 0 је дато следећим односом:
→ Пример
Одредити решење једначине Икс2 - к - 12 = 0.
Имајте на уму да су коефицијенти у једначини: а = 1; Б.= - 1 и ц = – 12. Заменом ових вредности у Бхаскара-овој формули имамо:
Делта (Δ) је добила име по дискриминаторски и приметите да је унутар а квадратни корен и, као што знамо, узимајући у обзир стварне бројеве, није могуће извући квадратни корен негативног броја.
Знајући вредност дискриминанта, можемо дати неколико изјава о решењу једначине 2. степена:
→ позитивни дискриминанти (Δ> 0): два решења једначине;
→ дискриминанта једнака нули (Δ = 0): понављају се решења једначине;
→ негативни дискриминанти (Δ <0): не признаје право решење.
Системи једначина другог степена
Када истовремено разматрамо две или више једначина, имамо а систем једначина. Решење система са две променљиве је скуп уређених парова који истовремено задовољава све укључене једначине.
→ Пример
Размотрите систем:
Са вредностима: к ’= 2, к’ ’= - 2 и и’ = 2, и ’’ = - 2 можемо истовремено саставити уређене парове који задовољавају системске једначине. Видети: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Сетимо се да је уређени пар написан у облику (к, и).
Методе за проналажење решења система једначина су сличне онима из линеарни системи.
→ Пример
Размотрите систем:
Из једначине к - и = 0, изолујмо непознато Икс, тако:
к - и = 0
к = и
Сада морамо заменити изоловану вредност у другу једначину, овако:
Икс2 - к –12 = 0
г.2 - и –12 = 0
Користећи Бхаскара-ину методу, морамо:
Пошто је к = и, имаћемо к ’= и’ и к ’’ = и ’’. Тј.
к ’= 4
к ’’ = -3
Дакле, уређени парови су решења система (4, 4) и (- 3, - 3).
Опширније: Систем једначина 1. и 2. степена
решене вежбе
Питање 1 - (ЕСПМ -СП) Решења доње једначине су два броја
а) рођаци.
б) позитивна.
в) негативан.
г) парови.
д) непарно.
Решење
Знамо да називници разломка не могу бити једнаки нули, па је к = 1 и к = 3. А пошто имамо једнакост разломака, можемо се вишеструко множити, добијајући:
(к + 3) · (к + 3) = (к - 1) · (3к +1)
Икс2 + 6к +9 = 3к2 - 2к - 1
Икс2 - 3к2 + 6к + 2к +9 +1 = 0
(– 1) - 2к2 + 8к +10 = 0 (– 1)
2к2 - 8к - 10 = 0
Подијеливши обје стране једначине са 2, имамо:
Икс2 - 4к - 5 = 0
Коришћењем Бхаскара-ове формуле следи да:
Имајте на уму да су корени једначине непарни бројеви.
Алтернатива е.
питање 2 - (УФПИ) Узгајивач живине открио је да би након постављања (н +2) птица у сваку од н доступних волијера остала само једна птица. Укупан број птица, за било коју природну вредност н, је увек
а) паран број.
б) непаран број.
в) савршен квадрат.
г) број дељив са 3.
д) прост број.
Решење
Број птица може се наћи множењем броја волијера бројем птица смештених у свакој од њих. од њих, према изјави вежбе након извођења овог поступка остала је још једна птица, све ово можемо написати у наставку манир:
н · (н + 2) +1
Извођењем дистрибутивности добићемо:
не2 + 2н +1
А узимајући у обзир овај полином, следи:
(н + 1)2
Стога је укупан број птица увек савршен квадрат за било који природни број н.
Алтернатива Ц.
написао Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm