Шта су комплексни бројеви?

До средине 16. века једначине попут х² - 6к + 10 = 0 једноставно су сматрани „нема решења“. То је било зато што би, према Бхаскара-овој формули, приликом решавања ове једначине пронађени резултат био:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

к = –(– 6) ± √– 4
2·1

к = 6 ± √– 4
2

Проблем је пронађен у √– 4, који нема решење унутар скупа реалних бројева, односно бр постоји стваран број који помножен сам са собом даје √– 4, будући да је 2 · 2 = 4 и (–2) (- 2) = 4.

1572. Рафаел Бомбелли био је заузет решавањем једначине к³ - 15к - 4 = 0 користећи Цардано-ову формулу. Кроз ову формулу закључује се да ова једначина нема стварне корене, јер је на крају потребно израчунати √– 121. Међутим, након неколико покушаја могуће је утврдити да 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 и стога је к = 4 корен ове једначине.

С обзиром на постојање стварних корена који нису изражени Кардановом формулом, Бомбелли је имао идеју да претпостави да би √– 121 резултирало √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 и то би могао бити „нестваран“ корен за једначину проучавао. Дакле, √– 121 би био део нове врсте броја који чини остале неутемељене корене ове једначине. Дакле, једначина х

³ - 15к - 4 = 0, који има три корена, имао би к = 4 као прави корен и два друга корена која припадају овој новој врсти броја.

Крајем 18. века Гаусс је ове бројеве именовао као комплексни бројеви. У то време су комплексни бројеви већ попримали облик а + би, са и = √– 1. У наставку, Тхе и Б. већ су се сматрале тачкама картезијанске равни, познате као Арганд-Гауссова раван. Дакле, комплексни број З = а + би имао је за свој геометријски приказ тачку П (а, б) картезијанске равни.

Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)

Стога израз „комплексни бројеви“Почео да се користи у односу на нумерички скуп чији су представници: З = а + би, са и = √– 1 и са Тхе и Б. који припадају скупу реалних бројева. Ова репрезентација се назива алгебарски облик комплексног броја З..

Пошто су сложени бројеви формирани са два реална броја и један од њих се множи са √– 1, ови реални бројеви су добили посебно име. Узимајући у обзир комплексни број З = а + би, а је „стварни део З“, а б „замишљени део З“. Математички можемо записати респективно: Ре (З) = а и Им (З) = б.

Идеја модула комплексног броја кристалише се аналогно идеји модула реалног броја. Узимајући у обзир тачку П (а, б) као геометријски приказ комплексног броја З = а + би, растојање између тачке П и тачке (0,0) дато је са:

| З | = √(Тхе² + б²)

Други начин представљања комплексних бројева је помоћу Поларни или тригонометријски облик. Овај облик користи модул комплексног броја у својој конституцији. Комплексни број З, алгебарски З = а + би, може се представити поларним обликом:

З = | З | · (цосθ + ицосθ)

Занимљиво је приметити да је картезијанска раван дефинисана двема правокутним линијама, познатим као осе к и и. Знамо да стварни бројеви могу бити представљени линијом на којој су постављени сви рационални бројеви. Преостали простори попуњени су ирационалним бројевима. Док су стварни бројеви на линији познатој као Кс оса из картезијанске равни, све остале тачке које припадају тој равни биле би разлика између комплексних бројева и реалних бројева. Дакле, скуп реалних бројева садржан је у скупу комплексних бројева.

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику

Да ли бисте желели да се на овај текст упутите у школи или академском раду? Погледајте:

СИЛВА, Луиз Пауло Мореира. „Шта су комплексни бројеви?“; Бразил Сцхоол. Може се наћи у: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Приступљено 27. јуна 2021.