Шта је косинусни закон?

ТХЕ косинусни закон је тригонометријска релација користи се за повезивање страница и углови на једном троугао било који, односно онај троугао који не мора нужно имати прави угао. Обратите пажњу на следећи троугао АБЦ са истакнутим мерама:

ТХЕ законОдкосинуси може дати један од следећих изрази:

Тхе² = б² + ц² - 2 · б · ц · цосα

Б.² = тхе² + ц² - 2 · а · ц · цосβ

ц² = б² + тхе² - 2 · б · а · цосθ

Посматрање: Није потребно памтити ове три формуле. Само знајте да законОдкосинуси увек се може градити. Приметите, у првом изразу, да је α угао насупрот страни чија је мера дата Тхе. Формулу започињемо квадратом на супротној страни угла који ће се користити у прорачунима. То ће бити једнако збиру квадрата друге две странице, умањеном за двоструки умножак производа двеју страница које нису насупрот овом углу косинус од α.

На овај начин, три горе наведене формуле могу се свести на:

Тхе² = б² + ц² - 2 · б · ц · цосα

Све док знамо да „Тхе " је мерење на супротној страни "α", а да су "б" и "ц" мере друге две стране троугао.

Демонстрација

С обзиром на троугао Било који АБЦ, са мерама истакнутим на следећој слици:

Размотримо троуглове АБД и БЦД формиране висином БД троугла АБЦ. Помоћу Питагорина теорема у АБД-у ћемо имати:

ц² = к² + х²

Х.² = ц² - Икс²

Користећи исту теорему за троугао БЦД, имаћемо:

Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)

Тхе² = и² + х²

Х.² = тхе² - и²

Знајући да постоји² = ц² - Икс², имаћемо:

ц² - Икс² = тхе² - и²

ц² - Икс² + и² = тхе²

Тхе² = ц² - Икс² + и²

Напомена на слици троугао где је б = к + и, где је и = б - к. Замењујући ову вредност у раније добијеном резултату, имаћемо:

Тхе² = ц² - Икс² + и²

Тхе² = ц² - Икс² + (б - к)²

Тхе² = ц² - Икс² + б² - 2бк + к²

Тхе² = ц² + б² - 2бк

И даље гледајући слику, приметите да:

цосα = Икс
ц

ц · цосα = к

к = ц · цосα

Заменом овог резултата у претходном изразу, имаћемо:

Тхе² = ц² + б² - 2бк

Тхе² = ц² + б² - 2б · ц · цосα

То је тачно први од три горе наведена израза. Друга два се могу добити аналогно овом.

Пример - У троугао онда израчунајте меру к.

Решење:

Помоћу законОдкосинуси, имајте на уму да је к мерење странице супротне углу 60 °. Према томе, први „број“ који ће се појавити у решењу треба да буде:

Икс² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · цос60 °

Икс² = 100 + 100 - 2 · 100 · цос60 °

Икс² = 200 - 200 · цос60 °

Икс² = 200 – 200·1
2

Икс² = 200 – 100

Икс² = 100

к = ± √100

к = ± 10

Како не постоје негативне дужине, резултат би требало да буде само позитивна вредност, тј. Кс = 10 цм.

написао Луиз Мореира
Дипломирао математику

Да ли бисте желели да се на овај текст упутите у школи или академском раду? Погледајте:

СИЛВА, Луиз Пауло Мореира. „Шта је косинусни закон?“; Бразил Сцхоол. Може се наћи у: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Приступљено 27. јуна 2021.