Њутнов бином је било који бином повишен на број не на шта не то је природан број. Захваљујући студијама физичара Исак Њутн о моћима бинома, то је било могуће проверити правилности које олакшавају представљање полинома генерисане из снаге бинома.
Посматрајући ове правилности, то је такође постало могуће наћи само један од појмова полином, без потребе да све то рачунамо, користећи формулу општег члана бинома. Поред тога, Њутн је приметио везу између комбинаторна анализаа и Њутнов биноми, шта је створило Паскалов троугао одличан алат за практичнији развој Њутновог бинома.
Прочитајте такође: Бриот-Руффинијев уређај - метода за дељење полинома
Дефиниција Њутновог бинома
Као бином дефинишемополином који има два члана. У неким апликацијама из математике и физике потребно је израчунати потенције бинома. Да бисте олакшали процес, Исак Њутн је уочио важне правилности који нам омогућавају да пронађемо полином који произилази из снаге бинома.
У неким случајевима прорачун је прилично једноставан: само изведите множење бинома само по себи помоћу дистрибутивног својства. До потенције реда 3, развијамо се без много напора, јер су они добро познати запажени производи, али за веће моћи израчунајте из множења појма самог не понекад је то много посла.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
Примери
Запамтите да је сваки број подигнут на нулу једнак 1 и да је сваки број подигнут на 1 сам по себи, што такође важи за биноме.
Њутн је приметио а однос између коефицијената сваког од појмова и комбинације, што је омогућило прорачун снаге бинома директније из следеће формуле:
Разумевање формуле:
Прво погледајмо дословни део сваког појма, а то је слово са својим експонентом. Имајте на уму да је за сваки појам експонент “а ”се смањивао, почевши од н, па прелазећи на н - 1, и тако све док није било 1 у претпоследњем и 0 у последњем року (што чини да се слово„ а “ни не појављује у последњем року).
идентификовање Тхе и његови експоненти:
Сада анализирајмо експоненте "б", који се увек повећавају, почев од 0 у првом члану ( због чега се слово б не појављује у првом члану), 1 у другом члану и тако даље док не буде једнако Тхе неу последњем мандату.
идентификовање Б. и његови експоненти:
Разумевање дословног дела, хајде анализирати коефицијенте, које су све комбинације не елементи узети од 0 до 0, 1 до 1, 2 до 2 и тако даље до последњег члана, што је комбинација не елементи преузети из не у не.
Значајно је да је важно савладати прорачун комбинације да би се могли пронаћи коефицијенти. Запамтите, да бисмо израчунали комбинације, морамо:
Комбиновани одговор је увек а природан број.
Погледајте такође: Полиномска подела: како то решити?
Пример: Израчунај Њутнов бином (а + б) до четврте степене.
1. корак: напиши полином користећи формулу.
2. корак: израчунајте комбинације.
Заменом комбинација, пронађени полином биће:
Можете видети да је решавање оваквих случајева и даље мукотрпно, у зависности од експонента, али и поред тога је брже од израчунавања помоћу дистрибутивног својства. Алат који може помоћи у овом прорачуну је Паскалов троугао.
Паскалов троугао
Паскалов троугао развио је Блаисе Пасцал током проучавања комбинација. Он је начин који олакшава израчунавање комбинација. Коришћење Паскаловог троугла омогућава брже и лакше проналажење коефицијената дословних делова Њутновог бинома без потребе за израчунавањем свих комбинација.
Да бисмо директно конструисали Паскалов троугао, сетимо се две ситуације када је прорачун комбинације једнак 1.
Дакле, први и последњи члан свих редова увек су једнаки 1. Централни појмови су изграђени од збира израза изнад њега и његовог суседа из претходне колоне, као у доњем приказу:
Да бисте изградили следеће редове, само запамтите да је први члан 1, а последњи такође. Тада је довољно урадити збире да би се открили централни појмови.
Такође приступите: Теорема полиномске декомпозиције
Пример: Израчунај (а + б) на шести степен.
1. корак: применити формулу бинома.
2. корак: изградити Пасцалов троугао до 6. линије.
3. корак: комбинације замените вредностима у реду 6, које су коефицијенти сваког од чланова бинома.
Оно што одређује број линија које ћемо изградити од бинома је вредност н. Важно је запамтити да је први ред нула.
Њутнов биномни општи појам
Њутнов општи појам бином је формула која нам омогућава да израчунамо члан бинома без потребе да развијемо цео полином, то јест, можемо идентификујте било који од појмова од првог до последњег. Помоћу формуле директно израчунавамо појам који тражимо.
Тхе: Први термин
Б: други мандат
н: експонент
п + 1: термин за претрагу
Пример: Пронађите 11. члан бинома (а + б)12.
Резолуција:
Погледајте такође: Демонстрације кроз алгебарског рачуна
решене вежбе
Питање 1 - (Цесгранрио) Коефицијент к4 у полиному П (к) = (к + 2)6:
а) 64
б) 60
ц) 12
д) 4
е) 24
Резолуција
Желимо да пронађемо одређени појам у решавању бинома; за то треба да нађемо вредност п.
Знамо да је први члан у овом случају једнак к, па је н - п = 4, као н = 6, имамо:
Дакле, коефицијент је 60 (алтернатива Б).
Питање 2 - (Унифор) Ако је централни појам биномног развоја (4к + ки)10 за 8064к5г.5, тада ће алтернатива која одговара вредности к бити:
а) 1/4
б) 1/2
ц) 1
д) 2
е) 4
Резолуција: Знамо да централни појам има једнаке коефицијенте (п = 5). Нађимо 6. члан, пошто је п + 1 = 6. Даље, имамо да је а = 4к; б = ки и н = 10, па:
Алтернатива Д.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
