Једна од техника која се користи за решавање квадратне једначине је метода позната као комплетни квадрати. Ова метода се састоји од тумачења једначина од другостепена као савршени квадратни трином и напишите свој факторски образац. Понекад овај једноставан поступак већ открива корене једначине.
Због тога је неопходно имати основно знање о запажени производи, триномквадратСавршено и полиномска факторизација да се послужим овом техником. Међутим, често дозвољава да се прорачуни раде „у главу“.
Стога ћемо се подсетити на три случаја производиизузетан пре демонстрације методазавршитиквадрата, која ће заузврат бити изложена у три различита случаја.
Изванредни производи и савршени квадратни триноми
Даље, погледајте изузетан производ, триномквадратСавршено што је еквивалентно њему и облику фактором овог тринома. Да бисте то урадили, узмите у обзир да је к непознат и Тхе је било који стварни број.
(к + к)2 = к2 + 2кк + к2 = (к + к) (к + к)
(к - к)2 = к2 - 2кк + к2 = (к - к) (к - к)
Једначина другог степена која се односи на трећи
производаизузетан, познат као умножак збира и разлике, може се решити техником која прорачуне чини још лакшим. Као резултат, овде се неће разматрати.Једначина је савршени квадратни трином
Ако један једначина од другостепена је савршен квадратни трином, тада његове коефицијенте можете идентификовати као: а = 1, б = 2к или - 2к и ц = к2. Да бисте то проверили, само упоредите квадратну једначину са а триномквадратСавршено.
Према томе, у решењу једначина од другостепена Икс2 + 2кк + к2 = 0, увек ћемо имати могућност да урадимо:
Икс2 + 2кк + к2 = 0
(к + к)2 = 0
√ [(к + к)2] = √0
| к + к | = 0
к + к = 0
к = - к
- к - к = 0
к = - к
Дакле, решење је јединствено и једнако –к.
Ако једначина бити к2 - 2кк + к2 = 0, можемо исто:
Икс2 - 2кк + к2 = 0
(к - к)2 = 0
√ [(к - к)2] = √0
| к - к | = 0
к - к = 0
к = к
- к + к = 0
- к = - к
к = к
Стога је решење јединствено и једнако к.
Пример: Који су корени једначина Икс2 + 16к + 64 = 0?
Имајте на уму да је једначина а триномквадратСавршено, пошто је 2к = 16, где је к = 8, и к2 = 64, где је к = 8. Тако да можемо написати:
Икс2 + 16к + 64 = 0
(к + 8)2 = 0
√ [(к + 8)2] = √0
к + 8 = 0
к = - 8
Овде је резултат поједностављен, јер већ знамо да ће два решења бити једнака истом реалном броју.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
Једначина није савршени квадратни трином
У случајевима када једначина од другостепена није савршени квадратни трином, можемо узети у обзир следећу хипотезу да бисмо израчунали његове резултате:
Икс2 + 2кк + Ц = 0
Имајте на уму да се ова једначина претвара у а триномквадратСавршено, само замените вредност Ц вредношћу к2. Будући да је ово једначина, једини начин да се то уради је додавање к2 на оба члана, затим замењујући коефицијент чланова Ц. Гледати:
Икс2 + 2кк + Ц = 0
Икс2 + 2кк + Ц + к2 = 0 + к2
Икс2 + 2кк + к2 = к2 - Ц
После овог поступка, можемо да наставимо са претходном техником, трансформишући триномквадратСавршено у изванредан производ и израчунавање квадратних корена на оба удова.
Икс2 + 2кк + к2 = к2 - Ц
(к + к)2 = к2 - Ц
√ [(к + к)2] = √ (к2 - Ц)
к + к = ± √ (к2 - Ц)
Знак ± се појављује кад год је резултат а једначина је квадратни корен, јер је у овим случајевима резултат квадратног корена а модул, као што је приказано у првом примеру. Коначно, преостаје само још:
к = - к ± √ (к2 - Ц)
Дакле, ови једначине имају два резултата прави и различит или нема стварног резултата када је Ц> к2.
На пример, израчунати корене х2 + 6к + 8 = 0.
Решење: Имајте на уму да је 6 = 2 · 3к. Отуда је к = 3 и према томе к2 = 9. Стога је број који морамо додати у оба члана једнак 9:
Икс2 + 6к + 8 = 0
Икс2 + 6к + 8 + 9 = 0 + 9
Икс2 + 6к + 9 = 9 - 8
Икс2 + 6к + 9 = 1
(к + 3)2 = 1
√ [(к + 3)2] = ± √1
к + 3 = ± 1
к = ± 1 - 3
к ’= 1 - 3 = - 2
к ’’ = - 1 - 3 = - 4
У том случају коефицијент а = 1
када је коефицијент Тхе, даје једначина од другостепена, разликује се од 1, само поделите целу једначину са нумеричком вредношћу коефицијента Тхе да би затим применио једну од две претходне методе.
Дакле, у једначини 2к2 + 32к + 128 = 0, имамо јединствени корен једнак 8, јер:
2к2+ 32к + 128 = 0
2 2 2 2
Икс2 + 16к + 64 = 0
И, у једначини 3к2 + 18к + 24 = 0, имамо корене - 2 и - 4, јер:
3к2 + 18к + 24 = 0
3 3 3 3
Икс2 + 6к + 8 = 0
Аутор: Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику
