Порекло и на квадрат једнако је -1

У проучавању комплексних бројева наилазимо на следећу једнакост: и² = – 1.
Оправдање за ову једнакост обично је повезано са решавањем једначина 2. степена са негативним квадратним коренима, што је грешка. Порекло израза и² = - 1 се појављује у дефиницији комплексних бројева, још једно питање које такође изазива велику сумњу. Хајде да разумемо разлог такве једнакости и како она настаје.
Прво, направимо неке дефиниције.
1. Уређени пар реалних бројева (к, и) назива се комплексним бројем.
2. Комплексни бројеви (к₁г.₁) и (к₂г.₂) једнаки су ако и само ако је к₁ = к₂ и г.₁ = и₂.
3. Сабирање и множење комплексних бројева дефинисано је:
(Икс₁г.₁) + (к₂г.₂) = (к₁ + к₂г.₁ + и₂)
(Икс₁г.₁)*(Икс₂г.₂) = (к₁*Икс₂ - и₁* г.₂, Икс₁* г.₂ + и₁*Икс₂)
Пример 1. Размотримо з₁ = (3, 4) и з₂ = (2, 5), израчунај з₁ + з₂ и з₁* з₂.
Решење:
з₁ + з₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
з₁* з₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Користећи трећу дефиницију лако је показати да:
(Икс₁, 0) + (к₂, 0) = (к₁ + к₂, 0)

(Икс₁, 0) * (к₂, 0) = (к₁*Икс₂, 0)
Ове једнакости показују да се у односу на операције сабирања и множења сложени бројеви (к, и) понашају као реални бројеви. У овом контексту можемо успоставити следећи однос: (к, 0) = к.
Користећи овај однос и симбол и за представљање комплексног броја (0, 1), можемо написати било који комплексни број (к, и) на следећи начин:
(к, и) = (к, 0) + (0, 1) * (и, 0) = к + ии → што је нормални облик позива комплексног броја.
Дакле, комплексни број (3, 4) у нормалном облику постаје 3 + 4и.
Пример 2. Следеће сложене бројеве напишите у нормалном облику.
а) (5, - 3) = 5 - 3и
б) (- 7, 11) = - 7 + 11и
в) (2, 0) = 2 + 0и = 2
г) (0, 2) = 0 + 2и = 2и
Сада приметите да и називамо комплексним бројем (0, 1). Да видимо шта ће се десити приликом прављења и2.
Знамо да је и = (0, 1) и да је и² = и * и. Пратите то:
и² = и * и = (0, 1) * (0, 1)
Користећи дефиницију 3, имаћемо:
и² = и * и = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Као што смо раније видели, сваки сложени број облика (к, 0) = к. Тако,
и² = и * и = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Стигли смо до чувене једнакости и² = – 1.

Написао Марцело Ригонатто
Специјалиста за статистику и математичко моделирање
Бразилски школски тим

Комплексни бројеви - Математика - Бразил Сцхоол

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm