ТХЕ аритметичка прогресија (АП) је нумерички низ које користимо за описивање понашања одређених појава у математици. У ПА, раст или пропадање је увек константан, односно од једног до другог појма, разлика ће увек бити иста, а та разлика је позната као разлог.
Као резултат предвидљиво понашање прогресије, можете то описати из формуле познате као општи термин. Из истог разлога, такође је могуће израчунати збир термина ПА помоћу одређене формуле.
Прочитајте такође: Геометријска прогресија - како израчунати?
Шта је ПА?
Разумевање да је ПА редослед појмова у којима разлика између појма и његовог претходног је увек стална, да бисмо описали ово напредовање из формуле, морамо пронаћи почетни појам, или то јест, први појам прогресије и његов разлог, а то је та стална разлика између услови.
Уопштено говорећи, ПА се пише на следећи начин:
(Тхе1, а2, Тхе3, а4, Тхе5, а6, Тхе7, а8)
Први термин је а1 и, од тога, до додати разлог р, пронађимо услове наследника.
Тхе1 + р = а2
Тхе2 + р = а3
Тхе3 + р = а4
...
Дакле, да бисмо написали аритметичку прогресију, морамо знати ко јој је први појам и зашто.
Пример:
Напишимо првих шест чланова АП знајући да је његов први члан 4 и да је његов однос једнак 2. знајући1 = 4 и р = 2, закључујемо да овај напредак започиње са 4 и повећава се са 2 на 2. Стога можемо описати његове појмове.
Тхе1 = 4
Тхе2 = 4+ 2 = 6
Тхе3 = 6 + 2 = 8
Тхе4 = 8 + 2 = 10
Тхе5= 10 + 2 = 12
Тхе6 = 12 + 2 =14
Овај БП је једнак (4,6,8,10,12,14…).
Општи појам ПА
Описивањем ПА из формуле олакшавамо проналазак било ког од њених термина. Да бисмо пронашли било који појам АП-а, користимо следећу формулу:
Тхене= а1 + р · (н-1) |
Н → је положај појма;
Тхе1→ је први појам;
р → разлог.
Пример:
Нађи га општи појам ЗП (1,5,9,13,…) и 5., 10. и 23. мандат.
1. корак: наћи разлог.
Да бисте пронашли однос, једноставно израчунајте разлику између два узастопна члана: 5 - 1 = 4; тада је у овом случају р = 4.
2. корак: наћи општи појам.
Како знамо да је1= 1 и р = 4, заменимо у формули.
Тхене= а1 + р (н - 1)
Тхене= 1 + 4 (н - 1)
Тхене= 1 + 4н - 4
Тхене= 4н - 3 → општи појам ПА
3. корак: знајући општи појам, израчунајмо 5., 10. и 23. члан.
5. члан → н = 5
Тхене= 4н - 3
Тхе5=4·5 – 3
Тхе5=20 – 3
Тхе5=17
10. члан → н = 10
Тхене= 4н - 3
Тхе10=4·10 – 3
Тхе10=40 – 3
Тхе10=37
23. члан → н = 23
Тхене= 4н - 3
Тхе23=4·23 – 3
Тхе23=92 – 3
Тхе23=89
Врсте аритметичких прогресија
Постоје три могућности за ПА. Може бити повећање, смањење или константа.
Расте
Као што и само име говори, аритметичка прогресија се повећава када, како се појмови повећавају, тако се и њихова вредност повећава., односно други члан је већи од првог, трећи већи од другог итд.
Тхе1 2 3 4 < …. не
Да би се то догодило, однос мора бити позитиван, односно ПА се повећава ако је р> 0.
Примери:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
силазни
Као што и само име говори, аритметичка прогресија опада када, како се појмови повећавају, њихова вредност опада, односно други члан је мањи од првог, трећи је мањи од другог итд.
Тхе1 > тхе2 > тхе3 > тхе4 > …. > тхене
Да би се то догодило, однос мора бити негативан, односно ПА се повећава ако је р <0.
Примери:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Стално
Аритметичка прогресија је константна када, како се услови повећавају, вредност остаје иста., то јест, први члан је једнак другом, који је једнак трећем, и тако даље.
Тхе1 = тхе2 = тхе3 = тхе4 = …. = ане
Да би ПА био константан, однос мора бити једнак нули, односно р = 0.
Примери:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Погледајте такође: Производ производа ПГ - која је формула?
Особине ПА
1. својство
С обзиром на било који термин ПА, просек аритметика између његовог наследника и претходника једнако је том појму.
Пример:
Узмите у обзир прогресију (-1, 2, 5, 8, 11) и појам 8. Просек између 11 и 5 једнак је 8, односно сума наследника са претходником броја у ПА увек је једнака овом броју.
2. својство
Збир једнако удаљених чланова је увек једнак.
Пример:
Збир термина ПА
Претпоставимо да желимо да додамо шест термина БП приказаних горе: (16,13,10,7,4,1). Можемо једноставно додати њихове термине - у том случају је мало термина могуће - али ако јесу дужи низ, требало би да користите својство. Знамо да је збир једнако удаљених појмова увек једнак, као што смо видели у својству, па ако то изведемо додајте једанпут и помножите са половином износа, имамо зброј првих шест чланова ПАН.
Имајте на уму да бисмо у примеру израчунавали збир првог и последњег, који је једнак 17, помножен са половином износа, односно 17 пута 3, што је једнако 51.
Формула збир термина ПА развио га је математичар Гаусс, који је ову симетрију реализовао у аритметичким прогресијама. Формула је написана на следећи начин:
сне → збир од н елемената
Тхе1 → први термин
Тхене → последњи термин
н → број појмова
Пример:
Израчунај збир непарних бројева од 1 до 2000.
Резолуција:
Знамо да је овај низ ПА (1,3,5,…. 1997, 1999). Извођење суме било би много посла, тако да је формула прилично згодна. Од 1 до 2000, половина бројева је непарна, тако да постоји 1000 непарних бројева.
Подаци:
н → 1000
Тхе1 → 1
Тхене → 1999
Такође приступите: Збир коначних ПГ - како то учинити?
Интерполација аритметичких средина
Познавајући два неусклађена члана аритметичке прогресије, могуће је пронаћи све појмове који спадају између ова два броја, оно што ми знамо као интерполација аритметичких средстава.
Пример:
Интерполирајмо 5 аритметичких средина између 13 и 55. То значи да постоји 5 бројева између 13 и 55 и они чине прогресију.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Да бисте пронашли ове бројеве, потребно је пронаћи разлог. Знамо први термин (1 = 13), а такође и седми појам (7= 55), али знамо да:
Тхене = тхе1 + р · (н - 1)
Када је н = 7 → ане= 55. Такође знамо вредност а1=13. Дакле, замењујући је у формули, морамо:
55 = 13 + р · (7 - 1)
55 = 13 + 6р
55 - 13 = 6р
42 = 6р
р = 42: 6
р = 7.
Знајући разлог, можемо пронаћи изразе који су између 13 и 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
решене вежбе
Питање 1 - (Енем 2012) - Играње карата је активност која подстиче расуђивање. Традиционална игра је Пасијанс који користи 52 карте. У почетку се са картама формира седам колона. Прва колона има једну карту, друга две карте, трећа три карте, четврта четири картице итд сукцесивно до седме колоне која има седам карата и онога што чини гомилу, а то су неискоришћене карте у колоне.
Број карата које чине хрпу је:
А) 21.
Б) 24.
В) 26.
Д) 28.
Е) 31.
Резолуција
Алтернатива Б.
Прво израчунајмо укупан број коришћених карата. Радимо са АП-ом чији је први мандат 1, а однос такође 1. Дакле, израчунавајући збир 7 редова, последњи члан је 7, а вредност н је такође 7.
Знајући да је укупан број коришћених карата био 28 и да их има 52, гомилу чине:
52 - 28 = 24 карте
Питање 2 - (Енем 2018) Градска кућа малог града у унутрашњости одлучује да постави стубове за осветљење око дуж правог пута који почиње на централном тргу и завршава се на фарми у околини. сеоски. Како трг већ има осветљење, први стуб биће постављен на 80 метара од трга, други на 100 метара, трећи на 120 метара итд. узастопно, увек држећи растојање од 20 метара између стубова, све док се последњи стуб не постави на растојању од 1.380 метара од квадрат.
Ако град може да плати највише 8.000,00 Р $ по постављеном посту, највећи износ који можете потрошити на постављање ових постова је:
А) 512 000,00 БРЛ.
Б) 520.000,00 БРЛ.
В) 528.000,00 Р $.
Д) 552.000,00 БРЛ.
Е) 584 000,00 БРЛ.
Резолуција
Алтернатива Ц.
Знамо да ће се стубови постављати на сваких 20 метара, то јест, р = 20, и да је први члан ове ПА 80. Такође, знамо да је последњи термин 1380, али не знамо колико има појмова између 80 и 1380. Да бисмо израчунали овај број појмова, употребимо формулу општег појма.
Подаци: ане = 1380; Тхе1=80; и р = 20.
Тхене= а1 + р · (н-1)
Биће постављено 660 постова. Ако ће сваки коштати највише 8.000 Р $, највећи износ који можете потрошити на постављање ових постова је:
66· 8 000 = 528 000
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm