izračunajte faktorijel števila je smiselno le, če delamo z naravnimi števili. Ta operacija je v kombinatorna analiza, olajšanje izračuna ureditev, permutacij, kombinacij in drugih težav, ki vključujejo štetje. Faktorial je predstavljen s simbolom "!". Določimo ga kot n! (n faktorije) do množenje n z vsemi njegovimi predhodniki dokler ne dosežete 1. ne! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Preberite tudi: Temeljno načelo štetja - glavni koncept kombinatorne analize
Kaj je faktorijel?
Factorial je zelo pomembna operacija za preučevanje in razvoj kombinatorne analize. V matematiki je število, ki mu sledi znak klicaj (!) je znan kot faktorijel, na primer x! (x faktorije).
Vemo kot faktor na a naravno število The množenje tega števila s predhodniki, razen nič, tj .:
ne! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Omeniti velja, da je ta operacija smiselna: n je naravno število, to pomeni, da ne izračunamo faktorja negativnega števila ali celo decimalnega števila ali ulomkov.
faktorcialni izračun
Če želite najti faktorje številke, samo izračunajte zmnožek. Upoštevajte tudi, da je faktorijel operacija, ki kdaj povečati vrednost n, se bo tudi rezultat zelo povečal.
Primeri:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Po definiciji imamo:
0! = 1
1! = 1
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Faktorske operacije
Za reševanje faktorcijskih operacij je pomembno paziti, da ne naredite napak. Ko bomo seštevali, odštevali ali množili dve faktorji, je treba vsako od njih izračunati posebej. Samo oddelek ima posebne načine za poenostavitve. Ne naredite napake pri izvedbi operacije in ohranjanju faktorja, bodisi za seštevanje in odštevanje bodisi za množenje.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Pri reševanju katere koli od teh operacij moramo izračunati vsako od faktorjev.
Primeri:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Glej tudi: Kako rešiti enačbo s faktorijem?
Faktorska poenostavitev
Delitve se precej ponavljajo. V formulah kombinacija, razporeditve in permutacije s ponavljanjem, se bomo vedno lotili poenostavitve za reševanje problemov, ki vključujejo faktorije. Za to sledimo nekaj korakom.
Primer:
1. korak: identificirajte največjega izmed faktorijev - v tem primeru je 8! Zdaj, če pogledamo imenovalec, ki je 5!, zapišimo množenje 8 s svojimi predhodniki, dokler ne pridemo do 5 !.
Faktor števila n, to je n!, lahko prepišemo kot množenje n na k!. Tako
ne! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, zato napišimo 8! kot množenje z 8 na 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Torej napišimo razlog kot:
2. korak: po prepisovanju razlog, števec lahko poenostavimo z imenovalcem, saj je 5! je v števcu in imenovalcu. Po poenostavitvi samo izvedite množenje.
2. primer:
Kombinacijska in faktorska analiza
Pri izvajanju nadaljnja študija kombinatorne analize se bo vedno pojavila faktorijel števil. Glavne skupine v kombinatorni analizi, ki so permutacija, kombinacija in razporeditev, v svojih formulah uporabljajo faktorje števila.
Permutacija
THE permutacija in preurejanje vseh elementov niza. Za izračun permutacije se zatečemo k faktorijelu, saj se permutacija n elementov izračuna z:
Pšt = n!
Primer:
Koliko anagrami lahko gradimo z imenom HEITOR?
To je tipičen problem permutacije. Ker je v imenu 6 črk, za izračun števila možnih anagramov samo izračunajte P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Dostop tudi: Permutacija s ponavljajočimi se elementi: kako to rešiti?
Dogovori
Izračunaj dogovori zahteva tudi obvladovanje faktorja števila. Dogovor, tako kot permutacija, je oblikovanje preurejanja. Razlika je v v aranžmaju preurejamo del kompleta, torej želimo vedeti, koliko možnih prerazporeditev lahko oblikujemo tako, da izberemo količino k ene nastavite z n elementi.
Primer:
V podjetju je 6 kandidatov za vodenje zavoda, dva pa bosta izbrana za direktorja in namestnika direktorja. Koliko možnih rezultatov je, če veste, da bodo izvoljeni z glasovanjem?
V tem primeru bomo izračunali razporeditev 6, vzetih iz 2 na 2, saj obstaja 6 kandidatov za dve prosti mesti.
Kombinacija
Tako kot pri ostalih je treba tudi v kombinaciji obvladati faktorije števila. Opredeljujemo kot kombinacijo ti podmnožice nabora. Razlika je v tem, da v kombinaciji ni preurejanja, ker vrstni red ni pomemben. Torej izračunavamo, koliko podmnožic s k elementi lahko oblikujemo v nizu n elementov.
Primer:
Za predstavitev razreda bo izbran odbor treh študentov. Koliko komisij se lahko sestavi, če veste, da je 5 kandidatov?
Preberite tudi: Dogovor ali kombinacija?
Rešene vaje
Vprašanje 1 - O faktorju številke presodite naslednje trditve.
JAZ). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Samo jaz sem resničen.
B) Samo II je resnična.
C) Samo III je resničen.
D) Resnična sta le I in II.
E) Resnična sta le II in II.
Resolucija
Alternativa A.
I) Res.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Napačno.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Napačno.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Vprašanje 2 - (UFF) Ali je izdelek 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 enakovreden?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Resolucija
Alternativa D.
Če pogledamo zmnožek vseh parnih števil od 2 do 20, vemo, da:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Tako lahko prepišemo kot 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
