Matrica: kaj je to, vrste, operacije, primeri

THE sedež pogosto se uporablja za organiziranje tabelarnih podatkov za lažje odpravljanje težav. Podatki o matriki, ne glede na to, ali so številčni ali ne, so lepo razporejeni v vrstice in stolpce.

Nabor matric, opremljen z operacijami dodatek, odštevanje in množenje in lastnosti kot nevtralni in inverzni element tvorijo matematično strukturo, ki omogoča njegovo uporabo na različnih področjih tega velikega področja znanja.

Glej tudi: Razmerje med matričnimi in linearnimi sistemi

Matrična predstavitev

Preden začnemo s študijami matric, moramo določiti nekaj zapisov v zvezi z njihovimi predstavitvami. Ob matrice so vedno predstavljene z velikimi črkami. (A, B, C…), ki jih spremljajo indeksi, v katerih je prva številka označuje število vrstic, druga pa število stolpcev.

THE število vrstic (vodoravne vrstice) in stolpci (navpične vrstice) matrike določa njeno naročilo. Matrika A ima vrstni red m po n. Pokličejo se informacije, ki jih vsebuje matrika elementi in so organizirani v oklepajih, oglatih oklepajih ali dveh navpičnih črtah, glejte primere:

Matrica A ima dve vrstici in tri stolpce, zato je njen vrstni red dvakrat tri → A_2x3.

Matrica B ima eno vrstico in štiri stolpce, zato je njen vrstni red ena do štiri, tako se imenuje matrika vrstice → B_1x4.

Matrica C ima tri vrstice in en stolpec, in tako se imenuje matrika stolpca in njegov vrstni red je tri po ena → C_3x1.

Elemente matrike lahko generično predstavimo, to pomeni, da lahko ta element zapišemo z matematično predstavitvijo. Ogenerični element bodo predstavljene z malimi črkami (a, b, c…) in ima, tako kot pri predstavitvi nizov, tudi indeks, ki označuje njegovo lokacijo. Prva številka označuje vrstico, v kateri je element, druga številka pa stolpec, v katerem se nahaja.

Upoštevajte naslednjo matrico A, našteli bomo njene elemente.

Opazujemo prvi element, ki se nahaja v prvi vrstici in prvem stolpcu, torej v prvi vrstici in prvem stolpcu, imamo številko 4. Za lažje pisanje ga bomo označili z:

The₁₁ → vrstica en element, stolpec ena

Tako imamo naslednje elemente matrike A_2x3:

The₁₁ = 4

The₁₂ =16

The₁₃ = 25

The₂₁ = 81

The₂₂ = 100

The₂₃ = 9

Na splošno lahko polje zapišemo kot funkcijo njegovih generičnih elementov, to je generična matrika.

Matriko m vrstic in n stolpcev predstavlja:

• Primer

Določite matriko A = [a_ij ]_2x2, ki ima naslednji zakon o usposabljanju_ij = j² - 2i. Iz podatkov v izjavi ugotovimo, da je matrika A vrstnega reda dva za dvema, torej ima dve vrstici in dva stolpca, torej:

Poleg tega je bil dan zakon o oblikovanju matrike, to je, da je vsak element zadovoljen z razmerjem do_ij = j² - 2i. Če v formulo nadomestimo vrednosti i in j, imamo:

The₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

The₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

The₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

The₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Zato je matrika A:

Vrste matrike

Nekatere matrice si zaslužijo posebno pozornost, glejte zdaj te vrste nizov s primeri.

• kvadratna matrica

Matrika je kvadratna, ko je število vrstic je enako številu stolpcev. Matriko, ki ima n vrstic in n stolpcev, predstavljamo z A_št (beri: kvadratna matrica vrstnega reda n).

V kvadratnih matricah imamo dva zelo pomembna elementa, diagonale: glavna in sekundarna. Glavno diagonalo tvorijo elementi, ki imajo enake indekse, to je vsak element a_ij z i = j. Sekundarno diagonalo tvorijo elementi a_ij z i + j = n +1, kjer je n vrstni red matrike.

• matrika identitete

Matrika identitete je kvadratna matrica, ki ima vsetielementi glavne diagonale enaki 1 in drugi elementi enaki 0, njegov zakon o ustanovitvi je:

To matriko označimo z I, kjer je n vrstni red kvadratne matrike, glej nekaj primerov:

• matrika enote

Je kvadratna matrika prvega reda, to pomeni, da ima vrstico in stolpec in je zato samo en element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 in C = || 5 ||_1x1

To so primeri enotnih matrik s poudarkom na matriki B, ki je a matrika identitete enote.

• ničelna matrika

Polje naj bi bilo nič, če so vsi njegovi elementi enaki nič. Predstavljamo ničelno matriko reda m z n z O_mxn.

Matrika O je nična v 4. vrstnem redu.

• nasprotna matrica

Upoštevajmo dve matriki enakega reda: A = [a_ij]_mxn in B = [b_ij]_mxn. Te matrice se imenujejo nasprotno, če in samo, če je_ij = -b_ij. Tako ustrezni elementi morajo biti nasprotna števila.

Lahko predstavljamo matriko B = -A.

• prenesena matrica

Dve matriki A = [a_ij]_mxn in B = [b_ij]_nxm so preneseno če in samo, če je_ij = b_ji , to je, če dobimo matriko A, da bi našli njen prenos, samo vzemite vrstice kot stolpce.

Prenos matrike A je označen z A^T. Glej primer:

Poglej več: Inverzna matrika: kaj je to in kako preveriti

Matrične operacije

Splošna predstavitev matrike n x m.

Niz matric ima operacije azelo dobro definirano seštevanje in množenje, to pomeni, da kadar koli delujemo z dvema ali več matricami, rezultat operacije še vedno pripada naboru matrik. Kaj pa operacija odštevanja? To operacijo razumemo kot obratno seštevanje (nasprotna matrica), ki je prav tako zelo dobro definirana.

Preden določimo operacije, se razumemo v idejah ustrezni element in enakost matric. Ustrezni elementi so tisti, ki zasedajo enak položaj v različnih matricah, se pravi, da se nahajajo v isti vrstici in stolpcu. Očitno morajo biti nizi istega reda, da lahko obstajajo ujemajoči se elementi. Poglej:

Elementa 14 in -14 sta ustrezna elementa nasprotnih matrik A in B, saj zasedata isti položaj (isto vrstico in stolpec).

Za dve matriki bomo rekli, da sta enaki takrat in samo, če sta ustrezna elementa enaka. Tako je glede na matrike A = [a_ij]_mxn in B = [b_ij]_mxn, ti bodo enaki, če in samo če_ij = b_ij za katero koli i j.

• Primer

Če vemo, da sta matriki A in B enaki, določite vrednosti x in t.

Ker sta matriki A in B enaki, morajo biti ustrezni elementi enaki, zato:

x = -1 in t = 1

• Seštevanje in odštevanje matric

Delovanje podjetja seštevanje in odštevanje med matricami so precej intuitivni, vendar je najprej treba izpolniti pogoj. Za izvajanje teh operacij je najprej treba preveriti, ali je vrstni red nizov je enak.

Ko je ta pogoj preverjen, pride do seštevanja in odštevanja matrike z dodajanjem ali odštevanjem ustreznih elementov matrik. Razmislite o matricah A = [a_ij]_mxn in B = [b_ij]_mxn, potem:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Primer

Spodaj upoštevajte matriki A in B, določite A + B in A - B.

Preberite tudi vi: Operacije s celo številko

• Množenje realnega števila z matrico

Množenje realnega števila v matriki (znano tudi kot množenje matrike) s skalarjem dobimo tako, da vsak element matrike pomnožimo s skalarjem.

Naj bo A = [a_ij]_mxn matriko in t realno število, torej:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Glej primer:

• Množenje matric

Množenje matric ni tako trivialno kot njihovo seštevanje in odštevanje. Pred izvedbo množenja mora biti izpolnjen tudi pogoj glede vrstnega reda matric. Razmislite o matricah A_mxn in B_nxr.

Za izvedbo množenja je število stolpcev v prvi matrici mora biti enako številu vrstic v drugi. Matrika zmnožka (ki izhaja iz množenja) ima vrstni red, ki je podan številu vrstic v prvem in številu stolpcev v drugem.

Za izvedbo množenja med matricama A in B moramo vsako vrstic pomnožiti z vsemi stolpci, kot sledi: prvi element A se pomnoži s prvim elementom B in nato doda drugemu elementu A in pomnoži z drugim elementom B in tako zaporedoma. Glej primer:

Preberite tudi vi: Laplaceov izrek: vemo, kako in kdaj uporabiti

Rešene vaje

Vprašanje 1 - (U. IN. Londrina - PR) Naj bosta matriki A in B 3 x 4 oziroma p x q, in če ima matrica A · B red 3 x 5, potem drži, da:

a) p = 5 in q = 5

b) p = 4 in q = 5

c) p = 3 in q = 5

d) p = 3 in q = 4

e) p = 3 in q = 3

Rešitev

Imamo izjavo, da:

THE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Od pogoja za pomnožitev dveh matrik imamo, da zmnožek obstaja le, če je število stolpcev v prvem enako številu vrstic v drugem, torej je p = 4. Vemo tudi, da je matrika izdelka podana s številom vrstic v prvi s številom stolpcev v drugi, torej je q = 5.

Zato je p = 4 in q = 5.

A: Alternativa b

Vprašanje 2 - (Vunesp) Določite vrednosti x, y in z na naslednji enakosti, ki vključuje 2 x 2 realni matriki.

Rešitev

Izvedimo operacije med nizi in nato enakost med njimi.

Za določitev vrednosti x, y in z bomo rešili linearni sistem. Sprva dodajmo enačbi (1) in (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Če nadomestimo vrednost x, ugotovljeno v enačbi (3), imamo:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

In končno, če nadomestimo vrednosti x in z, najdene v enačbi (1) ali (2), imamo:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Zato je rešitev problema dana s = {(2, 0, 2)}.

avtor Robson Luiz
Učitelj matematike