Permutacije so del težav s štetjem. S permutacijami poznamo število vrstnih redov elementov v nizu. Z rešenimi vajami vadite svoje znanje o permutaciji in razrešite dvome.
1. vaja
Dva prijatelja sta se igrala s šeststranimi kockami. Znano je, da so izšle številke 4, 1, 2 in 5, ne nujno v tem vrstnem redu. Koliko zaporedij rezultatov bi lahko bilo?
Odgovor: 24
Nekateri vrstni red rezultatov bi lahko bil:
1, 2, 4 in 5 oz
5, 4, 5 in 1 oz
4, 5, 1 in 2
Za določitev skupnega števila možnih vrstnih redov izračunamo permutacijo s štirimi različnimi elementi.
vaja 2
Skupina šestih prijateljev je šla gledat film v kino in kupila vstopnice za isto vrsto sedežev. Glede na to, da je par in sta sedela na sosednjih stolih, na koliko načinov bi se ti prijatelji lahko uvrstili v vrsto stolov?
Odgovor: 240
Ker so pri izračunu upoštevani vsi elementi nabora "prijateljev", gre za problem permutacije.
Za izračun skupnega možnega števila permutacij smo upoštevali 5 elementov, saj mora biti par vedno skupaj.
Poleg tega moramo teh 120 možnosti pomnožiti z dva, saj lahko par med seboj zamenja mesti.
Tako je število možnih načinov, kako se prijatelji organizirati v vrsti stolov, naslednje:
120. 2 = 240
3. vaja
Razred 7 učencev se igra na dvorišču in izkorišča odmor. Ko zaslišijo signal, ki oznanja vrnitev v učilnice, se učenci postavijo v vrsto. Na koliko različnih načinov lahko učenci oblikujejo čakalno vrsto?
Odgovor: 5040
Skupno število možnih načinov organiziranja čakalne vrste je permutacija 7 različnih elementov.
vaja 4
Fotograf nastavlja svojo kamero, da fotografira 5 otrok, razporejenih na klopi. V tej skupini so 3 dekleta in 2 fanta. Možna razporeditev otrok na fotografiji bi bila:
Glede na položaje, v katerih lahko otroci sedijo na klopi, na koliko načinov lahko fotograf organizira dečke in dekleta, tako da dobi različne fotografije?
Odgovor: 10
To je primer permutacije s ponavljajočimi se elementi. Skupno število permutacij moramo deliti s produktom med permutacijami elementov, ki se ponavljajo.
vaja 5
Koliko anagramov lahko sestavimo s črkami v besedi PREFEITURA?
Odgovor: 907 200
Beseda MESTNA HIŠA ima 10 črk, od katerih se nekatere ponavljajo. Črka E se pojavi dvakrat, prav tako R.
Izračunamo deljenje med permutacijo 10 elementov in delimo s produktom permutacij ponovljenih elementov.
vaja 6
(UEMG 2019) Iz množice vseh permutacij črk v besedi PONTA se naključno odstrani ena. Kakšna je verjetnost odstranitve besede, ki se začne in konča na samoglasnik?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Korak 1: število vseh permutacij s črkami besede PONTA.
Ker obstaja pet različnih črk, imamo:
2. korak: število permutacij, ki se začnejo in končajo z samoglasnikom.
Za prvo črko sta na voljo dve možnosti samoglasnika, za zadnjo črko bo samo 1.
Za soglasnike so 3! možnosti.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
3. korak: določite razmerje verjetnosti.
vaja 7
(EsPCex 2012) Verjetnost, da dobimo število, deljivo z 2, če naključno izberemo eno od permutacij števk 1, 2, 3, 4, 5, je
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Korak 1: skupne permutacije.
Ker obstaja pet različnih elementov, imamo, da je število permutacij 5 elementov enako 5 faktorielu.
2. korak: permutacije števil, deljivih z dve, s petimi števkami.
Da bi bilo deljivo z 2, je pogoj, da je sodo. Tako obstajata dve možnosti za zadnjo števko, 2 in 4.
Za ostala mesta so 4! možnosti.
3. korak: izračun verjetnosti.
vaja 8
(EsFCEx 2022) Naj bo P množica permutacij zaporedja 1, 3, 6, 9, 12, pri katerih je prvi člen drugačen od 1. Če je eno od teh zaporedij naključno izžrebano, je verjetnost, da je drugi člen 3, enaka p/q, pri čemer je p, q ∈ IN* in gcd (p, q) = 1. Zato je q – p enako
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Korak 1: določite skupno število možnih primerov v vzorčnem prostoru.
Od desne proti levi prva številka ne more biti ena, zato so na voljo 4 možnosti, da zasedete prvo mesto.
Ostala mesta lahko zasedejo 4! možnosti.
Permutacije so:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
2. korak: določite možnosti za pojav dogodka, pri čemer so drugi trije, prvi pa je drugačen od enega.
Permutacije so:
3.1.3.2.1 = 18
3. korak: razmerje verjetnosti.
Razmerje verjetnosti je:
S p = 18 in q = 96.
Še vedno pa obstaja pogoj, da je največji skupni delitelj med p in q 1, kar se ne zgodi pri 18 in 96.
Moramo poenostaviti in preizkusiti ulomke, ki ustrezajo 18/96.
4. korak: poenostavitev verjetnostnega deleža in določitev p in q.
Ker je gcd (3, 16) = 1, p = 3 in q = 16.
5. korak: zaključek.
q - p = 16 - 3 = 13
Izvedite več o permutacija.
Za več vaj glejte:
Kombinatorne analize
ASTH, Rafael. Rešene in razložene permutacijske vaje.Vse zadeve, [n.d.]. Na voljo v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Dostop na:
Glej tudi
- Kombinatorna analiza
- Vaje kombinatorne analize
- Permutacija: preprosta in s ponavljanjem
- Ureditev v matematiki: kaj je, kako izračunati, primeri
- 27 Vaje iz osnovne matematike
- Kombinacija v matematiki: kako računati in primeri
- Verjetnostne vaje
- Verjetnost
