Znano je kot racionalno število vsako število, ki lahko predstavimo kot nesvodljivo frakcijo. Skozi človeško zgodovino se je ideja o številu postopoma razvijala v skladu s človeškimi potrebami. Zastopanje števil v ulomkih je na primer rešilo probleme, ki so bili rešeni samo z cela števila.
Racionalno število lahko predstavimo iz ulomka, zato obstajajo metode za pretvorbo celih števil, decimalna števila natančne in periodične decimalke v frakcijah.
Preberite tudi: Operacije z ulomki - kako rešiti?
Kaj so racionalna števila?
Racionalna števila so razširitev nabora celih števil, nato so bili poleg celih števil dodani še vse frakcije. O nastavite racionalnih števil predstavlja:
Ta predstavitev pravi, da je število racionalno, če ga lahko predstavimo kot ulomek The približno B, tako da The je celo število in B je celo število, ki ni nič. Če pa bomo racionalne številke definirali manj strogo, lahko rečemo naslednje:
Racionalna števila so vsa števila, ki jih lahko predstavimo kot ulomek. |
Upoštevajte to definicijo:
ti cela številas, na primer: -10, 7, 0;
ti natančna decimalna številana primer: 1,25; 0,1; 3,1415;
ob preproste periodične desetine, na primer: 1.424242…;
ob sestavljene periodične desetine, na primer: 1.0288888…
Ne so racionalna števila:
Ob neperiodične desetine, na primer: 4,1239489201…;
Ob korenineni natančno, na primer:
;- THE žabajazz kvadrat negativna števila, na primer:
.
Opazovanje: Obstoj neracionalnih števil povzroči, da se pojavijo drugi nizi, na primer iracionalna števila in kompleksna števila.
Prikaz racionalnih števil
Razumevanje, da je ulomek a delitev dveh celih števil, da je racionalno število, to številko lahko predstavite kot ulomek. Zato lahko vsakega od zgoraj omenjenih primerov kot racionalna števila (cela števila, natančna decimalna mesta in periodične decimalne številke) predstavimo kot ulomek.
cela števila
Obstaja neskončno možnosti, da celo število predstavimo kot ulomek, saj je ulomek lahko predstavljen v nespremenljivi obliki ali ne.
Primeri:
natančne decimalne številke
Če želite natančno decimalno število spremeniti v ulomek, štejemo število števil v njegovem decimalnem delu, torej za decimalno vejico. Če je za vejico številka, bomo celoštevilčni del plus decimalni del zapisali brez vejice nad 10. Če sta v decimalnem delu nad 100 številki, bo v praksi količina števil v decimalnem delu enaka količini ničel, ki jih imamo v imenovalcu. Glej primer:
občasne desetine
Iskanje delne predstavitve desetine ni vedno lahka naloga, kot pravimo mi tvori frakcijo. Da bi olajšali to delo, smo opazili, da v enačbi, s katero smo našli generirajočo frakcijo, obstajajo zakonitosti, ki so omogočile razvoj praktične metode.
Najprej moramo razumeti, da obstajata dve vrsti periodične desetine, enostavna in sestavljena. Ena desetina je preprosta če je v njegovem decimalnem delu ponovljen le tisti del, to je obdobje. Ena desetina je sestavljena če je v njegovem decimalnem delu neperiodični del.
Primer:
9,323232… → preprosta periodična decimalna številka
Celoštevilčni del je enak 9.
Obdobje je enako 32.
8,7151515… → sestavljena periodična desetina
Celoštevilčni del je enak 8.
Neperiodični decimalni del je enak 7.
Obdobje je enako 15.
Glej tudi: Enakovredne frakcije - frakcije, ki predstavljajo enako količino
→ 1. primer: generiranje ulomka preproste periodične decimalke
V prvem primeru preprosto periodično decimalno številko pretvori v ulomek po praktični metodi v števec samo zapiši celoten del plus piko brez vejice. V imenovalcu za vsak element v periodičnem delu dodamo 9.
Primer:
Ustvarjalni ulomek 9,323232… ima, kot smo videli, obdobje, enako 32, to je dve števili v svojem obdobju, zato je imenovalec 99. Celoštevilčni del in periodični del brez vejice je 932, kar je števec. Torej, ustvarjajoči del te desetine je:
→ 2. primer: generiranje ulomka sestavljenega periodičnega decimalnega mesta
Periodična sestavljena desetina je nekoliko bolj zahtevna. Poiščimo ustvarjajoči delež desetine, ki smo jo obdelali v primeru.
8,7151515… → sestavljena periodična decimalna številka.
Celoštevilčni del je enak 8.
Neperiodični decimalni del je enak 7.
Decimalni del obdobja je enak 15.
Števec je odštevanje 8715 - 87, to je razlika med številom, ki gre od celotnega dela do periodičnega dela z neponavljajočim se delom desetine.
Števec je enak 8715 - 87 = 8628.
Če želimo najti imenovalec, analizirajmo decimalni del. Najprej si oglejmo neperiodični in periodični decimalni del. V tem primeru je decimalni del števila 715. Za vsako številko, ki je v periodičnem delu, dodajte a 9 na začetku imenovalca. Ker ima periodični del v tem primeru dve številki (15), bosta v imenovalcu dve 9. Za vsako število v decimalnem delu, ki ni periodično, bomo dodali a 0 na koncu imenovalca, ki bo 990.
Kmalu tvori frakcijo desetine bo:
Lastnosti racionalnih števil
Med dvema racionalnima številkama bo vedno še eno racionalno število
Zanimivo je razmišljati o tej lastnosti, o kateri so starodavni ljudje veliko razpravljali, in postala paradoks. Če izberemo dve racionalni številki, bo med njima vedno obstajalo število.
Primer:
Med 1 in 2 je 1,5; med 1 in 1,5 je 1,25; med 1 in 1,25 je 1,125 in tako naprej. Kolikor izberem dve racionalni številki z zelo majhno razliko med njima, je vedno mogoče najti racionalno število med njima. Ta lastnost naredi nemogoče opredeliti naslednika in predhodnika v racionalnih številkah.
Štiri operacije na množici racionalnih števil so zaprte
Pravimo, da je sklop zaprt za vsotana primer, če vsota dveh racionalnih števil vedno ustvari drugo racionalno število kot odgovor. To se zgodi s štirimi operacijami na Q.
THE seštevanje, odštevanje, deljenje in množenje med dvema racionalnima številoma bo vedno prišlo do racionalnega števila. Pravzaprav celo potenciranje racionalnega števila bo vedno ustvaril racionalno število kot odgovor.
Nabor racionalnih števil ni zaprta za radikacijo. Tako mker je 2 racionalno število, je kvadratni koren 2 a iracionalno število.
Glej tudi: Enakovredne frakcije - frakcije, ki predstavljajo enako količino
Podmnožice racionalnih števil
Vemo kako podmnožice ali relacija vključitve množice, ki jih tvorijo elementi, ki pripadajo množici racionalnih števil. Obstaja več možnih podskupin, kot skupek celih števil oz naravno, ker je vsako celo število racionalno, tako kot je vsako naravno število racionalno.
Primer:
Nabor celih števil: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Ko se to zgodi, to rečemo Z ⸦ Q (Bere se: Z je vsebovan v Q ali pa je celoten sklop v naboru racionalnih števil.)
Obstaja nekaj simbolov, ki so bistvenega pomena za ustvarjanje podnaborov Q, in sicer: +, - in *, kar pomeni pozitivno, negativno in ne-null.
Primeri:
Q * → (se glasi: niz ne-nič racionalnih števil.)
V+ → (se glasi: niz pozitivnih racionalnih števil.)
V- → (glasi: niz negativnih racionalnih števil.)
V*+ → (se glasi: niz pozitivnih in ne-nič racionalnih števil.)
V*- → (se glasi: niz negativnih in ne-nič racionalnih števil.)
Upoštevajte, da so vsi ti nizi podmnožice Q, saj vsi elementi pripadajo nizu racionalnih števil. Poleg predstavljenih nizov lahko v Q delamo z več podmnožicami, na primer z množico, ki jo tvorijo liha števila, ali bratranci, ali parov, na koncu obstaja več in več možnosti podskupin.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm