O volumen prisekanega stožca je prostor, ki ga zaseda to okroglo telo. Ker presek stožca s polmerom R ustvari manjši stožec s polmerom r in prisekanega stožca so prostornine teh treh teles povezane.
Preberite tudi: Kako izračunati deblo piramide
Povzetek o prostornini prisekanega stožca
- Stožec s polmerom R seka prečno na višino H osnovne ravnine je razdeljen na dve geometrijski telesi: stožec polmera r je stožec debla.
- Glavni elementi prisekanega stožca so višina H, najmanjša osnova polmera r in večjo osnovo polmera R.
- Prostornina prisekanega stožca je razlika med prostornino stožca polmera R in prostornino stožca polmera r.
- Formula za prostornino prisekanega stožca je:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video lekcija o volumnu prisekanega stožca
Kateri so elementi prisekanega stožca?
Elementi prisekanega stožca, ki nastane iz odseka desnega stožca s polmerom R, so:
- manjša osnova – polmer kroga r, dobljeno v odseku stožca polmera R .
- večjo osnovo – krožna osnova stožca polmera R .
- Višina (h) – razdalja med ravninama baz.
- Generatrix – segment s konci na obodih, ki omejujejo baze.
A spodnja slika predstavlja elemente prisekanega stožca. Upoštevajte, da sta manjša in velika baza vzporedni.
Formula volumna debla stožca
Nato izpeljimo formulo za prostornino preseka višine H, manjši osnovni radij r in polmer največje osnove R .
Upoštevajte, da je presek stožca s polmerom R in višino H1 proizvaja dve trdni snovi:
- stožec strele r in višina h2 je
- visok stožec debla H .
zavedaj se tega \(H_1=H_2+h\).
Prostornina stožca s polmerom R (ki ga bomo imenovali večji stožec) bo predstavljena z VR; prostornina polmernega stožca r (ki ga bomo imenovali manjši stožec), po Vr; prostornina prisekanega stožca pa z Vt. Zato:
\(V_R=V_r+V_t\)
Upoštevajte to:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Opazovanje: VR in Vr sta prostornini stožcev. Za pregled te zadeve kliknite tukaj.
Všečkaj to:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
Izraz H2 ustreza višini manjšega stožca. Če povežemo višine stožcev z ustreznimi polmeri baz, lahko dobimo formulo za prostornino debla, ki je odvisna le od elementov debla (R, r je H).
Povezovanje polmera in višine večjega stožca (R in H1 ) s polmerom in višino manjšega stožca (r in H2), imamo naslednji delež:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
kmalu, lahko prepišemo prostornino prtljažnika Vt kot sledi:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Všečkaj to, Formula za prostornino prisekanega stožca je:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Preberite tudi: Volumske formule različnih geometrijskih teles
Kako izračunati prostornino prisekanega stožca?
Če želite izračunati prostornino prisekanega stožca, samo nadomestite meritve višine, polmera manjše osnove in polmera večje osnove v formuli.
- Primer: Kolikšna je prostornina v kubičnih centimetrih prisekanega stožca, v katerem je polmer večje osnove R = 5 cm, polmer manjše osnove je r = 3 in višina je h = 2 cm? (Uporabite π=3 )
Če nadomestimo podatke v formuli, imamo:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Rešene vaje o obsegu prisekanega stožca
Vprašanje 1
Lonček ima obliko prisekanega stožca z največjim polmerom dna R = 8 cm, najmanjšim polmerom dna r = 4 in višino h = 2 cm. Prostornina tega lonca v cm³ je:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Resolucija
Če nadomestimo podatke v formuli, imamo:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativa D
vprašanje 2
(Enem 2021) Ena oseba je kupila vrček za pitje juhe, kot je prikazano na sliki.
Vemo, da je 1 cm³ = 1 mL in da je vrh vrčka krog s premerom (D) 10 cm, osnova pa krog s premerom (d) 8 cm.
Poleg tega je znano, da višina (h) tega vrčka meri 12 cm (razdalja med središčem zgornjega in spodnjega kroga).
Uporabite 3 kot približek za π.
Kakšna je volumetrična prostornina tega vrčka v mililitrih?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Resolucija
Oblika vrčka je prisekan stožec, pri katerem je vrh večji podstavek. Tudi R=5, r = 4 cm in H = 12. kmalu:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Ker je 1 cm³ = 1 mL, imamo 732 cm³ = 732 mL.
Alternativa C
Viri:
DANTE, L. R. Matematika: kontekst in aplikacije - Srednja šola. 3. izd. Sao Paulo: Attica, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. št. Osnove elementarne matematike, Vol 10: Prostorska geometrija - položaj in metrika. 7 izd. Santos: Aktualno, 2013.
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm