Napredek: kaj so, vrste, formule, primeri

Vemo kako napredovanja posebni primeri zaporedja števil. Obstajata dva primera napredovanja:

• aritmetično napredovanje

• geometrijsko napredovanje

Če želimo napredovati, moramo analizirati značilnosti zaporedja, če obstaja razlog, ki mu pravimo. ko je napredovanje aritmetika, razlog ni nič drugega kot konstanta, ki jo izraz dodamo, da v zaporedju poiščemo njegovega naslednika; zdaj, ko delate z napredovanjem geometrijska, razum ima podobno funkcijo, le da je v tem primeru razum konstanten izraz, s katerim v zaporedju pomnožimo izraz, da najdemo njegovega naslednika.

Zaradi predvidljivo vedenje napredovanja obstajajo posebne formule za iskanje katerega koli izraza v teh zaporedjih, prav tako pa je mogoče razviti a formula za vsakega od njih (to je ena za aritmetično napredovanje in ena za geometrijsko napredovanje), da se izračuna vsota Odšt prvi pogoji tega napredovanja.

Preberite tudi: Funkcije - kaj so in čemu služijo?

Količina fižola na letino se obnaša kot geometrijski napredek

zaporedje števil

Da bi razumeli, kaj so napredovanja, moramo najprej razumeti, kaj so zaporedja števil. Kot že ime pove, poznamo zaporedje števil a niz številk, ki spoštujejo vrstni red, če je dobro opredeljen ali ne. Za razliko od kompleti številke, kjer vrstni red ni pomemben, je v številskem zaporedju bistven vrstni red, na primer:

Zaporedje (1, 2, 3, 4, 5) se razlikuje od (5, 4, 3, 2, 1), ki se razlikuje od zaporedja (1, 5, 4, 3, 2). Tudi če so elementi enaki, saj je vrstni red drugačen, imamo različna zaporedja.

Primeri:

Zapišemo lahko zaporedja, katerih formacije je enostavno videti:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → zaporedje parnih števil, manjših ali enakih 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regresivno zaporedje lihih števil od 17 do 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → znano kot Fibonaccijevo zaporedje.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → čeprav tega zaporedja ni mogoče opisati tako kot druga, je enostavno predvideti, kakšni bodo njegovi naslednji izrazi.

V drugih primerih zaporedja imajo lahko vrednosti naključnosti, vseeno, da je zaporedje, pomembno je, da imamo niz urejenih vrednosti.

do 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Kolikor ni mogoče napovedati, kdo so naslednji izrazi iz črke b, še vedno delamo z nadaljevanjem.

Na splošno, nizi so vedno predstavljeni v oklepajih (), na naslednji način:

(₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈ …) → neskončno zaporedje

(₁, a₂, The₃, a₄, The₅, a₆, a₇, a₈... a_št) → končno zaporedje

V obeh imamo naslednjo predstavitev:

The₁ → prvi mandat

The₂ → drugi mandat

The₃ → tretji mandat

.

.

.

The_št → n-ti mandat

Opazovanje: Zelo pomembno je, da so podatki pri predstavljanju zaporedja zajeti v oklepajih. Zapis zaporedja pogosto zamenjamo z zapisom zapisov. Komplet je predstavljen v oklepajih, v kompletu pa vrstni red ni pomemben, kar v tem primeru vse spremeni.

(1, 2, 3, 4, 5) → zaporedje

{1, 2, 3, 4, 5} → nastavite

Obstajajo posebni primeri zaporedja, ki so znani kot progresije.

Glej tudi: Kaj je temeljno načelo štetja?

Kaj so napredovanja?

Zaporedje je opredeljeno kot napredovanje, kadar ima pravilnost iz enega izraza v drugega, znan kot razlog. Obstajata dva primera napredovanja, aritmetično napredovanje in geometrijsko napredovanje. Da bi vedeli, kako razlikovati vsakega od njih, moramo razumeti, kaj je razlog za napredovanje in kako ta razlog vpliva na izraze zaporedja.

Kadar imam od enega do drugega izraza v zaporedju a konstantna vsota, je to zaporedje opredeljeno kot napredovanje, v tem primeru pa a aritmetično napredovanje. Ta vrednost, ki jo nenehno seštevamo, je znana kot razmerje. Drugi primer, torej ko je zaporedje a geometrijsko napredovanje, od enega do drugega izraza obstaja množenje s konstantno vrednostjo. Analogno je ta vrednost razmerje med geometrijskim napredovanjem.

Primeri:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → opazimo, da vedno dodajamo 3 iz enega izraza v drugega, zato imamo aritmetično napredovanje razmerja 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → v tem primeru vedno pomnožimo z 10 od enega do drugega izraza, pri čemer imamo opravka z geometrijskim napredovanjem razmerja 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → v slednjem primeru obstaja samo eno zaporedje. Če želimo poiskati naslednji izraz, pomnožimo izraz s 3 in dodamo 2. V tem primeru, čeprav obstaja pravilnost iskanja naslednjih izrazov, gre le za zaporedje, ne pa za aritmetično ali geometrijsko napredovanje.

aritmetično napredovanje

Ko delamo s številskimi zaporedji, so zaporedja, v katerih lahko predvidevamo njihove nadaljnje izraze, precej ponavljajoča se. Da bi bilo to zaporedje razvrščeno kot a aritmetično napredovanje, mora biti razlog a. Od prvega mandata je naslednji mandat sestavljeno iz vsote prejšnjega izraza z razlogom r.

Primeri:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

To je zaporedje, ki ga lahko razvrstimo kot aritmetično napredovanje, ker je razlog r = 3 in prvi izraz je 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

To zaporedje je aritmetično napredovanje z dobrim razlogom. r = -5, njegov prvi mandat pa je 7.

• Pogoji PA

V mnogih primerih nas zanima, kako najti določen izraz v napredovanju, ne da bi morali pisati celotno zaporedje. Če poznamo vrednost prvega izraza in razmerje, lahko v aritmetičnem napredovanju najdemo vrednost katerega koli izraza. Za iskanje izrazov arimeticnega napredovanja uporabimo formulo:

The_št =₁+ (n - 1) r

Primer:

Poiščite 25. člen P.A, katerega razmerje je 3, prvi pa 12.

Podatki r = 3,₁ = 12. Želimo najti 25. člen, to je n = 25.

The_št =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• Splošni izraz P.A.

Splošna formula izraza je a način poenostavitve formule izraza AP da bi hitreje našli katerikoli izraz napredovanja. Ko sta znana prvi člen in razlog, je dovolj, da v formuli nadomestimo izraz P.A., da poiščemo splošni izraz aritmetičnega napredovanja, ki je odvisen samo od vrednosti št.

Primer:

Poiščite splošni izraz P.A., ki je r = 3 in₁ = 2.

The_št = 2 + (n -1) r

The_št = 2 + (n -1) 3

The_št = 2 + 3n - 3

The_št = 2n - 1

To je splošni izraz P.A., ki služi iskanju katerega koli izraza v tem napredovanju.

• Vsota izrazov PA

THE vsota izrazov PA bilo bi precej mukotrpno, če bi bilo treba poiskati vsak njegov izraz in ga sešteti. Obstaja formula za izračun vsote vseh št prvi izrazi aritmetičnega napredovanja:

Primer:

Poiščite vsoto vseh lihih števil od 1 do 100.

Vemo, da so liha števila aritmetično napredovanje razmerja 2: (1, 3, 5, 7... 99). V tem napredovanju je 50 izrazov, saj je od 1 do 100 polovica številk parna, druga polovica pa neparna.

Zato moramo:

n = 50

The₁ = 1

The_št = 99

Dostop tudi: Funkcija 1. stopnje - praktična uporaba aritmetičnega napredovanja

Geometrijsko napredovanje

Niz lahko tudi uvrstimo med progroženost geometrijska (PG). Da bi bilo zaporedje geometrijsko napredovanje, mora imeti razlog, toda v tem primeru za iskanje naslednjega izraza iz prvega izraza izvedemo množenje razmerja s prejšnjim izrazom.

Primeri:

a) (3, 6, 12, 24, 48…) → Geometrijsko napredovanje razmerja 2 in njegov prvi izraz je 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000…) → Geometrijsko napredovanje razmerja 10 in njegov prvi izraz je 20.

• Izraz PG

V geometrijskem napredovanju predstavljamo razlog za pismo kaj. Izraz geometrijskega napredovanja lahko najdemo po formuli:

The_št =₁ · kaj^{n - 1}

Primer:

Poiščite 10. mandat PG, vedoč to kaj = 2 in₁ = 5.

The_št =₁ · kaj^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• Splošni izraz PG

Ko poznamo prvi člen in razlog, je mogoče generalno formulo generirati iz geometrijskega napredovanja, ki je odvisno izključno od vrednosti št. Za to moramo le nadomestiti prvi člen in razmerje in našli bomo enačbo, ki je odvisna samo od vrednosti št.

Če uporabimo prejšnji primer, kjer je razmerje 2 in prvi člen 5, je splošni izraz za tega splošnega zdravnika:

The_št =₁ · kaj^{n - 1}

The_št = 5 · 2^{n - 1}

• Vsota izrazov PG

Dodajanje vseh pogojev napredovanja bi bilo veliko dela. V mnogih primerih je pisanje celotnega zaporedja za dosego te vsote dolgotrajno. Za lažji izračun ima geometrijsko napredovanje formulo, ki služi za izračun vsota št prvi elementi končnega PG:

Primer:

Poiščite vsoto prvih 10 izrazov GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Upoštevajte, da je razmerje tega PG enako 2.

The₁ = 1

kaj = 2

št = 10

Preberite tudi: Eksponentna funkcija - praktična uporaba geometrijskega napredovanja

Rešene vaje

Vprašanje 1 - Znanstveniki že nekaj dni opazujejo določeno kulturo bakterij. Eden od njih analizira rast te populacije in opazil je, da je bilo prvi dan 100 bakterij; v drugem 300 bakterij; v tretjem 900 bakterij itd. Z analizo tega zaporedja lahko rečemo, da je:

A) aritmetično napredovanje razmerja 200.

B) geometrijsko napredovanje razmerja 200.

C) arimetično napredovanje razloga 3.

D) geometrijsko napredovanje razmerja 3.

E) zaporedje, vendar ne napredovanje.

Resolucija

Alternativa D.

Pri analizi zaporedja imamo izraze:

Upoštevajte, da je 900/300 = 3, pa tudi 300/100 = 3. Zato delamo s PG z razmerjem 3, saj iz prvega mandata množimo s tri.

Vprašanje 2 - (Enem - PPL) Za začetnike v teku je bil določen naslednji dnevni načrt treninga: prvi dan preteči 300 metrov, drugega pa 200 metrov na dan. Za štetje svoje uspešnosti bo s pomočjo čipa, pritrjenega na supergo, izmeril razdaljo, prevoženo na treningu. Upoštevajte, da ta čip v spomin shrani največ 9,5 km teka / hoje in ga je treba postaviti na začetek vadbe in po izčrpanju prostora za rezervo podatkov zavreči. Če ta športnik uporablja žeton od prvega dne vadbe, koliko zaporednih dni bo ta čip lahko shranil kilometrino tega dnevnega načrta vadbe?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12.

E) 13

Resolucija

Alternativa B.

Ko analiziramo situacijo, vemo, da imamo PA z razlogom 200 in začetnim koncem 300.

Poleg tega vemo, da je vsota S_št = 9,5 km = 9500 metrov.

S temi podatki poiščimo izraz a_št, kar je število kilometrov, zabeleženih na zadnji dan skladiščenja.

Prav tako se je treba spomniti, da je vsak izraz a_št lahko zapišemo kot:

The_št =₁ + (n - 1)r

Glede na enačbo 200n² + 400n - 19000 = 0 lahko vse izraze delimo z 200, poenostavimo enačbo in ugotovimo: n² + 2n - 95 = 0.

Za delto in Bhaskaro moramo:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Vemo, da 8,75 ustreza 8 dnevom in nekaj ur. V tem primeru je število dni, v katerih je mogoče opraviti meritev, 8.

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm