Rešene vaje linearnih sistemov

Vadite svoje znanje o linearnih sistemih, pomembni temi matematike, ki vključuje preučevanje simultanih enačb. S številnimi praktičnimi aplikacijami se uporabljajo za reševanje problemov, ki vključujejo različne spremenljivke.

Vsa vprašanja rešujemo korak za korakom, kjer bomo uporabili različne metode, kot so: zamenjava, seštevanje, izločanje, skaliranje in Cramerjevo pravilo.

1. vprašanje (metoda zamenjave)

Določite urejen par, ki rešuje naslednji sistem linearnih enačb.

Glej odgovor

odgovor:

Izolacija x v prvi enačbi:

Zamenjava x v drugo enačbo:

Zamenjava vrednosti y v prvo enačbo.

Torej, urejeni par, ki rešuje sistem, je:

2. vprašanje (metoda skaliranja)

Rešitev naslednjega sistema linearnih enačb je:

Glej odgovor

Odgovor: x = 5, y = 1, z = 2

Sistem je že v obliki ešalona. Tretja enačba ima dva ničelna koeficienta (y = 0 in x = 0), druga enačba ima ničelni koeficient (x = 0), tretja enačba pa nima ničelnih koeficientov.

Pri ešalonskem sistemu rešujemo »od spodaj navzgor«, torej začnemo s tretjo enačbo.

Če se premaknemo na zgornjo enačbo, nadomestimo z = 2.

Nazadnje nadomestimo z = 2 in y = 1 v prvi enačbi, da dobimo x.

rešitev

x = 5, y = 1, z = 2

3. vprašanje (Cramerjevo pravilo ali metoda)

Rešite naslednji sistem linearnih enačb:

Glej odgovor

Odgovor: x = 4, y = 0.

Uporaba Cramerjevega pravila.

Korak 1: določimo determinante D, Dx in Dy.

Matrika koeficientov je:

Njena determinanta:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Za izračun Dx zamenjamo stolpec členov x s stolpcem neodvisnih členov.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Za izračun Dy nadomestimo člene y z neodvisnimi členi.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

korak 2: določi x in y.

Za določitev x naredimo:

Za določitev y naredimo:

vprašanje 4

Prodajalec majic in kapic na športnem dogodku je prodal 3 majice in 2 kapici ter skupaj zbral 220,00 R$. Naslednji dan je prodal 2 majici in 3 kape ter zbral 190,00 R$. Kakšna bi bila cena majice s kratkimi rokavi in ​​cena kape?

a) Majica: 60,00 BRL | Zgornja meja: 40,00 BRL

b) Majica s kratkimi rokavi: 40,00 BRL | Kapica: 60,00 BRL

c) Majica: 56,00 BRL | Kapica: 26,00 BRL

d) Majica s kratkimi rokavi: 50,00 BRL | Zgornja meja: 70,00 BRL

e) Majica s kratkimi rokavi: 80,00 BRL | Zgornja meja: 30,00 BRL

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Označimo ceno majic c in ceno klobukov b.

Za prvi dan imamo:

3c + 2b = 220

Za drugi dan imamo:

2c + 3b = 190

Sestavimo dve enačbi s po dvema neznankama, c in b. Torej imamo sistem 2x2 linearnih enačb.

Resolucija

Uporaba Cramerjevega pravila:

1. korak: determinanta matrike koeficientov.

2. korak: determinanta Dc.

Stolpec c nadomestimo z matriko neodvisnih členov.

3. korak: determinanta Db.

4. korak: določite vrednost c in b.

odgovor:

Cena majice je 56,00 R$, kape pa 26,00 R$.

vprašanje 5

Kinodvorana zaračuna 10,00 R$ na vstopnico za odrasle in 6,00 R$ na vstopnico za otroke. V enem dnevu je bilo prodanih 80 vstopnic, skupni znesek pa je znašal 700,00 R$. Koliko vstopnic vsake vrste je bilo prodanih?

a) Odrasli: 75 | Otroci: 25

b) Odrasli: 40 | Otroci: 40

c) Odrasli: 65 | Otroci: 25

d) Odrasli: 30 | Otroci: 50

e) Odrasli: 25 | Otroci: 75

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Poimenovali ga bomo kot The cena vstopnice za odrasle in w za otroke.

Glede na skupno število vstopnic imamo:

a + c = 80

Glede na dobljeno vrednost imamo:

10a + 6c = 700

Sestavimo sistem linearnih enačb z dvema enačbama in dvema neznankama, to je sistem 2x2.

Resolucija

Uporabili bomo metodo zamenjave.

Izolacija a v prvi enačbi:

a = 80 - c

Zamenjava a v drugo enačbo:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Zamenjava c v drugi enačbi:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

vprašanje 6

Trgovina prodaja majice, kratke hlače in čevlje. Prvi dan sta bili prodani 2 majici s kratkimi rokavi, 3 kratke hlače in 4 pari čevljev v skupni vrednosti 350,00 R$. Drugi dan so bile prodane 3 majice, 2 kratki hlači in 1 par čevljev v skupni vrednosti 200,00 R$. Tretji dan je bila prodana 1 majica s kratkimi rokavi, 4 kratke hlače in 2 para čevljev v skupni vrednosti 320,00 R$. Koliko bi stala majica s kratkimi rokavi, kratke hlače in par čevljev?

a) Majica: 56,00 BRL | Bermudi: 24,00 R$ | Čevlji: 74,00 BRL

b) Majica s kratkimi rokavi: 40,00 BRL | Bermudi: 50,00 R$ | Čevlji: 70,00 BRL

c) Majica: 16,00 BRL | Bermudi: 58,00 R$ | Čevlji: 36,00 BRL

d) Majica: 80,00 BRL | Bermudi: 50,00 R$ | Čevlji: 40,00 BRL

e) Majica s kratkimi rokavi: 12,00 BRL | Bermudi: 26,00 R$ | Čevlji: 56,00 BRL

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

• c je cena srajc;
• b je cena kratkih hlač;
• s je cena čevljev.

Za prvi dan:

2c + 3b + 4s = 350

Za drugi dan:

3c + 2b + s = 200

Za tretji dan:

c + 4b + 2s = 320

Imamo tri enačbe in tri neznanke, ki tvorijo sistem linearnih enačb 3x3.

Uporaba Cramerjevega pravila.

Matrika koeficientov je

Njegova determinanta je D = 25.

Stolpčna matrika odgovorov je:

Za izračun Dc zamenjamo stolpčno matriko odgovorov s prvim stolpcem v matriki koeficientov.

dc = 400

Za izračun Db:

Db = 1450

Za izračun Ds:

Ds = 900

Za določitev c, b in s delimo determinante Dc, Db in Ds z glavno determinanto D.

vprašanje 7

Restavracija ponuja tri jedi: meso, solato in pico. Prvi dan je bilo prodanih 40 mesnih jedi, 30 solatnih jedi in 10 pic v skupni vrednosti 700,00 BRL. Drugi dan je bilo prodanih 20 mesnih jedi, 40 solatnih jedi in 30 pic v skupnem znesku 600,00 R$ prodaje. Tretji dan je bilo prodanih 10 mesnih jedi, 20 solatnih jedi in 40 pic v skupni vrednosti 500,00 R$ prodaje. Koliko bi stala posamezna jed?

a) meso: 200,00 BRL | solata: 15,00 R$ | pica: 10,00 BRL

b) meso: 150,00 R$ | solata: 10,00 R$ | pica: 60,00 BRL

c) meso: 100,00 BRL | solata: 15,00 R$ | pica: 70,00 BRL

d) meso: 200,00 BRL | solata: 10,00 R$ | pica: 15,00 BRL

e) meso: 140,00 BRL | solata: 20,00 R$ | pica: 80,00 BRL

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Uporaba:

• c za meso;
• s za solato;
• p za pico.

Prvi dan:

V drugem dnevu:

Tretji dan:

Ceno posamezne jedi dobimo z rešitvijo sistema:

Resolucija

Uporaba metode izločanja.

Pomnožite 20c + 40s + 30p = 6000 z 2.

Odštejte drugo dobljeno matrično enačbo od prve.

V zgornji matriki to enačbo nadomestimo z drugo.

Tretjo zgornjo enačbo pomnožimo s 4.

Če od prve enačbe odštejemo tretjo, dobimo:

Zamenjava dobljene enačbe s tretjo.

Če odštejemo enačbi dve in tri, imamo:

Iz tretje enačbe dobimo p = 80.

Zamenjava p v drugi enačbi:

50 s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Zamenjava vrednosti s in p v prvi enačbi:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

rešitev

p=80, s=20 in c=140

vprašanje 8

(UEMG) V načrtu sistem predstavlja par črt

a) sovpadajoče.

b) različna in vzporedna.

c) sočasne premice v točki ( 1, -4/3 )

d) sočasne črte v točki ( 5/3, -16/9 )

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Množenje prve enačbe z dve in seštevanje obeh enačb:

Zamenjava x v enačbi A:

vprašanje 9

(PUC-MINAS) Določen laboratorij je v lekarne A, B in C poslal 108 naročil. Znano je, da je bilo število naročil, poslanih v lekarno B, dvakrat večje od skupnega števila naročil, poslanih v drugi dve lekarni. Poleg tega so bila v lekarno C poslana tri naročila, ki so bila več kot polovica odposlane v lekarno A.

Na podlagi tega podatka PRAVILNO trdimo, da je bilo skupno število naročil, poslanih v lekarni B in C,

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Glede na izjavo imamo:

A + B + C = 108.

Tudi, da je bila količina B dvakrat večja od A + C.

B = 2 (A + C)

V lekarno C so bila odposlana tri naročila, v lekarno A je bila odposlana več kot polovica količine.

C = A/2 + 3

Imamo enačbe in tri neznanke.

Uporaba metode zamenjave.

1. korak: zamenjajte tretjega z drugim.

2. korak: Dobljeni rezultat in tretjo enačbo nadomestite s prvo.

3. korak: Nadomestite vrednost A, da določite vrednosti B in C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Za C:

4. korak: dodajte vrednosti B in C.

72 + 14 = 86

vprašanje 10

(UFRGS 2019) Tako, da sistem linearnih enačb mogoče in določeno, je potrebno in zadostuje, da

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

potrdi odgovor

Odgovor pojasnjen

Eden od načinov, kako sistem razvrstiti kot možnega in določiti, je Cramerjeva metoda.

Pogoj za to je, da so determinante različne od nič.

Postavitev determinante D glavne matrike na nič:

Če želite izvedeti več o linearnih sistemih:

• Linearni sistemi: kaj so, vrste in kako jih rešiti
• Sistemi enačb
• Skaliranje linearnih sistemov
• Cramerjevo pravilo

Za več vaj:

• Sistemi enačb 1. stopnje

Kako citirati?

ASTH, Rafael. Vaje na rešenih linearnih sistemih.Vse zadeve, [n.d.]. Na voljo v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Dostop na:

Glej tudi

• Linearni sistemi
• Skaliranje linearnih sistemov
• Sistemi enačb
• 11 vaj za množenje matrik
• Enačba druge stopnje
• Vaje za neenakost
• 27 Vaje iz osnovne matematike
• Cramerjevo pravilo