O prostornina krogle je prostor, ki ga to zaseda geometrijsko trdno telo. Skozi žarek žoga — to je iz razdalje med središčem in površino — je mogoče izračunati njegovo prostornino.
Preberite tudi: Prostornina geometrijskih teles
Povzetek o prostornini krogle
Krogla je a okroglo telo dobimo z vrtenjem polkroga okoli osi, ki vsebuje premer.
Vse točke na krogli so od središča krogle oddaljene enako ali manj kot r.
Prostornina krogle je odvisna od mere polmera.
Formula za prostornino krogle je \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Video lekcija o prostornini krogle
Kaj je krogla?
Vzemimo točko O v prostoru in odsek z mero r. krogla je trdna snov, ki jo tvorijo vse točke, ki so od O oddaljene enako ali manj kot r. O pravimo središče krogle, r pa polmer krogle.
krogla lahko označimo tudi kot trdno revolucijo. Upoštevajte, da vrtenje polkroga okoli osi, ki vsebuje njegov premer, tvori kroglo:
Formula prostornine krogle
Za izračun volumna V krogle uporabimo spodnjo formulo, kjer je r polmer krogle:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Pomembno je upoštevati
merska enota polmer za določitev merske enote za prostornino. Na primer, če je r podan v cm, mora biti prostornina podana v cm³.Kako izračunati prostornino krogle?
Izračun prostornine krogle je odvisen le od meritve polmera. Poglejmo si primer.
Primer: S pomočjo približka π = 3 poiščite prostornino košarkarske žoge s premerom 24 centimetrov.
Ker je premer dvakrat večji od polmera, je r = 12 cm. Če uporabimo formulo za prostornino krogle, imamo
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
sferne regije
Razmislite o krogli s središčem O in polmerom r. Všečkaj to, obravnavamo lahko tri regije te sfere:
Notranje območje tvorijo točke, katerih oddaljenost od središča je manjša od polmera. Če P pripada notranjemu območju krogle, potem
\(D(P, O)
Območje površine tvorijo točke, katerih oddaljenost od središča je enaka polmeru. Če P pripada območju površine krogle, potem
\(D(P, O)=r\)
Zunanje območje tvorijo točke, katerih oddaljenost od središča je večja od polmera. Če P pripada notranjemu območju krogle, potem
\(D(P, O)>r\)
Posledično točke na zunanjem območju krogle ne pripadajo krogli.
Izvedite več: Sferična kapa — trdna snov, ki jo dobimo, ko kroglo preseka ravnina
Druge formule krogle
A področje krogle — to je merjenje njegove površine — ima tudi znano formulo. Če je r polmer krogle, se njena ploščina A izračuna z
\(A=4·π·r^2\)
V tem primeru je pomembno upoštevati tudi mersko enoto za polmer, ki označuje mersko enoto za območje. Na primer, če je r v cm, mora biti A v cm².
Rešene vaje o obsegu krogle
Vprašanje 1
Kolikšen je polmer krogle s prostornino 108 kubičnih centimetrov? (Uporabite π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Resolucija
Alternativa B.
Upoštevajte to r je polmer krogle. Če vemo, da je V = 108, lahko uporabimo formulo za prostornino krogle:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
vprašanje 2
Starodavni sferični rezervoar ima premer 20 metrov in prostornino V1. Zaželena je izgradnja drugega rezervoarja volumna V2, z dvakratno prostornino starega rezervoarja. Torej, V2 je enako kot
The) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Je) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Resolucija
E alternativa.
Ker je premer dvakrat večji od radija, ima stari rezervoar radij r = 10 metrov. Zato
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Z izjavo, \(V_2=2·V_1\), tj
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm