A tangenta (skrajšano kot tg ali tan) je a trigonometrična funkcija. Za določitev tangensa kota lahko uporabimo različne strategije: izračunamo razmerje med sinusom in kosinusom kota, če sta znana; uporabite tangentno tabelo ali kalkulator; izračunati razmerje med nasprotnim in sosednjim krakom, če je obravnavani kot med drugim notranji (ostrokotni) pravokotnega trikotnika.
Preberite tudi: Za kaj se uporablja trigonometrični krog?
povzetek o tangenti
Tangent je trigonometrična funkcija.
Tangens notranjega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Tangens katerega koli kota je razmerje med sinusom in kosinusom tega kota.
Funkcija \(f (x)=tg\ x\) je definiran za kote x izraženo v radianih, tako da cos \(cos\ x≠0\).
Graf tangentne funkcije prikazuje navpične asimptote za vrednosti, kjer je \(x= \frac{π}2+kπ\), z k cela, kot \(x=-\frac{π}2\).
Zakon tangente je izraz, ki v katerem koli trikotniku povezuje tangenti dveh kotov in strani nasproti tem kotom.
Tangenta kota
Če je α ena kota notranji od a pravokotni trikotnik, je tangens α razmerje med dolžino nasprotnega kraka in dolžino sosednjega kraka:
Za vsak kot α je tangens razmerje med sinusom α in kosinusom α, kjer \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Upoštevati je treba, da če je α kot v 1. ali 3. kvadrantu, bo imel tangent pozitiven predznak; če pa je α kot 2. ali 4. kvadranta, bo imel tangens negativen predznak. To razmerje izhaja neposredno iz pravila predznaka med predznakoma sinusa in kosinusa za vsak α.
Pomembno: Upoštevajte, da tangenta ne obstaja za vrednosti α, kjer \(cos\ α=0\). To se zgodi za kote 90°, 270°, 450°, 630° itd. Za predstavitev teh kotov na splošen način uporabljamo radianski zapis: \(\frac{ π}2+kπ\), z k cela.
Tangenta opaznih kotov
Uporaba izraza \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), lahko najdemo tangente izjemni koti, ki so koti 30°, 45° in 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
zanimivo: Poleg teh lahko analiziramo vrednosti tangente za kota 0° in 90°, ki se prav tako pogosto uporabljajo. Ker je sin 0° = 0, sklepamo, da je tan 0° = 0. Za kot 90°, ker je cos90° = 0, tangenta ne obstaja.
Kako izračunati tangento?
Za izračun tangensa uporabimo formulo tg α=sin αcos α, ki se uporablja za izračun tangensa poljubnega kota. Oglejmo si nekaj spodnjih primerov.
Primer 1
Poiščite tangens kota α v spodnjem pravokotnem trikotniku.
Resolucija:
Kar zadeva kot α, je stran mere 6 nasprotna stran, stranica mere 8 pa sosednja stranica. Všečkaj to:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Primer 2
Vedeti to \(sin\ 35°≈0,573\) in cos\(35°≈0,819\), poiščite približno vrednost za tangento 35°.
Resolucija:
Ker je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, imamo:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangentna funkcija
Za kote je definirana funkcija fx=tg x x izraženo v radianih, tako da \(cos\ x≠0\). To pomeni, da je domena funkcije tangente izražena z:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Poleg tega vse realna števila sta slika tangentne funkcije.
→ Graf funkcije tangente
Upoštevajte, da ima graf funkcije tangente navpične asimptote za vrednosti, kjer je \(x= \frac{π}2+kπ\), z k cela, kot \( x=-\frac{π}2\). Za te vrednosti x, tangenta ni definirana (to pomeni, da tangenta ne obstaja).
Glej tudi: Kaj je domena, obseg in slika?
zakon tangente
Zakon tangente je a izraz, ki asociira, v a trikotnik poljubno, tangente dveh kotov in strani nasproti tem kotom. Na primer, upoštevajte kota α in β trikotnika ABC spodaj. Upoštevajte, da je stranica CB = a nasproti kota α in da je stranica AC = b nasproti kota β.
Zakon tangente pravi, da:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrična razmerja
Za trigonometrična razmerja so trigonometrične funkcije, ki se izvajajo na pravokotnem trikotniku. Ta razmerja razlagamo kot razmerja med stranicami in koti te vrste trikotnika.
Rešene vaje na tangenti
Vprašanje 1
Naj bo θ takšen kot drugega kvadranta, da sin\(sin\ θ≈0,978\), torej je tgθ približno:
A) -4,688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Resolucija
Alternativa A
če \(sin\ θ≈0,978\), nato z uporabo temeljne identitete trigonometrije:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Ker je θ kot drugega kvadranta, je cosθ negativen, torej:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
kmalu:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
vprašanje 2
Vzemimo pravokotni trikotnik ABC s krakoma AB = 3 cm in AC = 4 cm. Tangens kota B je:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
IN) \(\frac{5}3\)
Resolucija:
Alternativa C
Po izjavi, krak nasproti kota \(\hat{B}\) je AC, ki meri 4 cm in krak, ki leži na kotu \(\hat{B}\) je AB z merilom 3 cm. Všečkaj to:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Avtor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteljica matematike