Študij z rešenimi vajami sinusa, kosinusa in tangente. Vadite in razčistite svoje dvome s komentiranimi vajami.
Vprašanje 1
Določite vrednosti x in y v naslednjem trikotniku. Upoštevajte sin 37º = 0,60, kosinus 37º = 0,79 in tan 37º = 0,75.
Odgovor: y = 10,2 m in x = 13,43 m
Za določitev y uporabimo sinus 37º, ki je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo. Ne smemo pozabiti, da je hipotenuza segment nasproti kotu 90 °, zato je vreden 17 m.
Za določitev x lahko uporabimo kosinus 37°, ki je razmerje med stranjo, ki meji na kot 37°, in hipotenuzo.
vprašanje 2
V naslednjem pravokotnem trikotniku določite vrednost kota , v stopinjah in njen sinus, kosinus in tangent.
Upoštevajte:
greh 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Odgovori: ,
V trikotniku je vsota notranjih kotov enaka 180°. Ker je trikotnik pravokoten, je kot 90°, zato je za oba kota ostalo še 90°.
Na ta način imamo:
Ker sta ta kota komplementarna (od enega od njih je drugi, koliko je ostalo za dokončanje 90º), velja, da:
cos 62º = sin 28º = 0,47
in
sin 62º = cos 28º = 0,88
Izračun tangente
Tangenta je razmerje med sinusom in kosinusom.
vprašanje 3
V določenem času sončnega dne se senca hiše projicira na 23 metrov. Ta ostanek je 45º glede na tla. Na ta način določite višino hiše.
Odgovor: Višina hiše je 23 m.
Za določitev višine ob poznavanju kota naklona uporabimo tangento kota 45°.
Tangenta 45° je enaka 1.
Hiša in senca na tleh sta kraka pravokotnega trikotnika.
Tako je višina hiše 23 m.
vprašanje 4
Geodetar je strokovnjak, ki uporablja matematično in geometrijsko znanje za merjenje in preučevanje površine. Uporaba teodolita, orodja, ki med drugim meri kote, nameščenega na 37 metrov stran od stavbe je našel kot 60° med ravnino, vzporedno s tlemi, in višino stavbe. Če je bil teodolit na stativu 180 cm od tal, določite višino stavbe v metrih.
razmisliti
Odgovor: Višina objekta je 65,81 m.
Naredimo skico situacije, ki jo imamo:
Tako lahko višino stavbe določimo s tangentom 60º, od višine, kjer je teodolit, pri čemer rezultat dodamo s 180 cm oziroma 1,8 m, saj je to višina od tal.
Tangenta 60° je enaka .
Višina od teodolita
Skupna višina
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Višina objekta je 65,81 m.
vprašanje 5
Določite obseg peterokotnika.
Upoštevajte:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
porjavelost 67° = 2,35
Odgovor: Obod je 219,1 m.
Obod je vsota stranic peterokotnika. Ker gre za pravokoten del, ki meri 80 m, je tudi nasprotna stran dolga 80 m.
Obod je podan z:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Biti je, vzporedno z modro črtkano črto lahko določimo njeno dolžino s tangento 67°.
Za določitev vrednosti b uporabimo kosinus 67°
Torej je obod:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
vprašanje 6
Poiščite sinus in kosinus 1110°.
Glede na trigonometrični krog imamo, da ima celoten obrat 360°.
Ko 1110° delimo s 360°, dobimo 3,0833.... To pomeni 3 polne obrate in malo več.
Če vzamemo 360° x 3 = 1080° in odštejemo od 1110, imamo:
1110° - 1080° = 30°
Glede na pozitivno smer v nasprotni smeri urnega kazalca se po treh popolnih zavojih vrnemo na začetek, 1080° ali 0°. Od te točke napredujemo še za 30°.
Torej sta sinus in kosinus 1110° enaka sinusu in kosinusu 30°
vprašanje 7
(CEDERJ 2021) Med študijem za trigonometrijski test je Júlia izvedela, da je sin² 72° enako
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Temeljni odnos trigonometrije pravi, da:
Kjer je x vrednost kota.
Če vzamemo x = 72º in izoliramo sinus, imamo:
vprašanje 8
Rampe so dober način za zagotavljanje dostopnosti za uporabnike invalidskih vozičkov in osebe z omejeno mobilnostjo. Dostopnost do zgradb, pohištva, prostorov in urbane opreme je zagotovljena z zakonom.
Brazilsko združenje tehničnih norm (ABNT) v skladu z brazilskim zakonom o vključevanju oseb z invalidnosti (13,146/2015), ureja konstrukcijo in opredeljuje naklon klančin ter izračune za njihovo Gradnja. Smernice za izračun ABNT navajajo največjo mejo naklona 8,33 % (razmerje 1:12). To pomeni, da mora biti rampa za premagovanje razlike 1 m dolga najmanj 12 m in to določa, da kot naklona klančine glede na vodoravno ravnino ne sme biti večji od 7°.
Po prejšnjih informacijah, tako da je klančina dolžine 14 m in naklona 7º v glede na ravnino, je v okviru norm ABNT, mora služiti za premagovanje vrzeli z največjo višino
Uporaba: sin 7. = 0,12; cos 7º = 0,99 in tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampa tvori pravokoten trikotnik, katerega dolžina je 14 m, ki tvori kot 7º glede na vodoravno, kjer je višina stran nasproti kotu.
Uporaba sinusa 7°:
Višina, ki jo mora dosegati rampa je 1,68 m.
vprašanje 9
(Unesp 2012) Bolnišnica se gradi na nagnjenem terenu. Za optimizacijo gradnje je odgovorni arhitekt zasnoval parkirišče v kleti stavbe z vhodom iz zadnje ulice zemljišča. Sprejem bolnišnice je 5 metrov nad nivojem parkirišča, zato je potrebna izgradnja ravne dovozne rampe za gibalno ovirane bolnike. Slika shematično predstavlja to rampo (r), ki povezuje točko A, na sprejemnem nadstropju, s točko B, na parkirnem nadstropju, ki mora imeti najmanjši α naklon 30° in največ 45°.
Pod temi pogoji in ob upoštevanju , kakšne naj bodo največje in najmanjše vrednosti, v metrih, dolžine te dostopne rampe?
Odgovor: Dolžina dovozne rampe bo najmanj 7 m in največ 10 m.
Projekt že predvideva in določa višino 5 m. Za kota 30° in 45° moramo izračunati dolžino rampe, ki je hipotenuza pravokotnega trikotnika.
Za izračun smo uporabili sinus kota, ki je razmerje med nasprotno stranjo, 5m, in hipotenuzo r, ki je dolžina rampe.
Za opazna kota 30° in 45° so vrednosti sinusa:
za 30°
do 45°
racionaliziranje
Zamenjava vrednosti
vprašanje 10
(EPCAR 2020) Ponoči helikopter brazilskih letalskih sil preleti ravno območje in opazi UAV (letalsko vozilo Brez posadke) krožne oblike in zanemarljive višine, s polmerom 3 m, parkiran vzporedno s tlemi na 30 m od višina.
UAV je na razdalji y metrov od reflektorja, ki je bil nameščen na helikopterju.
Svetlobni žarek reflektorja, ki prehaja mimo UAV, pade na ravno območje in ustvari krožno senco s središčem O in polmerom R.
Polmer R oboda sence tvori kot 60º s svetlobnim žarkom, kot je prikazano na naslednji sliki.
V tistem trenutku oseba, ki je v točki A na obodu sence, teče do točke O, stopalo od navpičnice, potegnjene iz reflektorja na območje ravnine.
Razdalja v metrih, ki jo ta oseba prepotuje od A do O, je število med
a) 18 in 19
b) 19 in 20
c) 20 in 21
d) 22 in 23
objektivno
Določite dolžino segmenta , polmer kroga sence.
Podatki
- Višina od O do UAV je 30 m.
- Polmer UAV je 3 m.
S pomočjo tangente 60° določimo del, označen z rdečo na naslednji sliki:
Glede na tangento 60° = in tangenta je razmerje med stranjo nasproti kotu in njeno sosednjo stranjo, imamo:
racionaliziranje
Dolžina AO je
približuje vrednosti
Približna meritev segmenta AO je 20,3 m, to je vrednost med 20 in 21.
Študij tudi z:
- Sinus, kosinus in tangent
- Trigonometrijske vaje v pravokotnem trikotniku
- Trigonometrijske vaje
- Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
- Trigonometrija
- trigonometrične identitete
- Vaje na trigonometričnih razmerjih
- Metrične relacije v pravokotnem trikotniku
- Trigonometrične relacije
- kotov
- Trigonometrična razmerja
- trigonometrična miza
- Trigonometrične funkcije
- Trigonometrični krog
- Zakon sinusov
- Zakon kosinusov
