An polinomska enačba je značilno, da ima a polinom enako nič. Lahko ga označimo s stopnjo polinoma in večja kot je ta stopnja, večja je stopnja težav pri iskanju njegove rešitve ali korena.
V tem kontekstu je pomembno tudi razumeti, kaj je temeljni izrek algebre, ki to pravi vsaka polinomska enačba ima vsaj eno kompleksno rešitev, z drugimi besedami: enačba prve stopnje bo imela vsaj eno rešitev, enačba druge stopnje bo imela vsaj dve rešitvi itd.
Preberite tudi: Kateri so razredi polinomov?
Kaj je polinomska enačba
Za polinomsko enačbo je značilno, da ima polinom enak nič, torej vsak izraz tipa P(x) = 0 je polinomska enačba, kjer je P(x) polinom. Spodaj je splošen primer polinomske enačbe in nekaj primerov.
Razmislite ošt, an -1, a n -2, …, The1, a0 in x realne številkein je n pozitivno celo število, naslednji izraz je polinomska enačba stopnje n.
- Primer
Naslednje enačbe so polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Tako kot polinomi imajo tudi polinomske enačbe svojo stopnjo. Če želite določiti stopnjo polinomske enačbe, poiščite najvišjo moč, katere koeficient je drugačen od nič. Zato so enačbe prejšnjih postavk:
a) Enačba je iz četrta stopnja:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Enačba je iz Srednja šola:5x2 – 3 = 0.
c) Enačba je iz prva stopnja:6x – 1 = 0.
d) Enačba je od tretja stopnja: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Kako rešiti polinomsko enačbo?
Način reševanja polinomske enačbe je odvisen od njene stopnje. Večja kot je stopnja enačbe, težje jo je rešiti. V tem članku bomo prikazali metodo reševanja polinomskih enačb prve stopnje, druge stopnje in bisquare.
Polinomska enačba prve stopnje
Polinomsko enačbo prve stopnje opisuje a polinom stopnje 1. Tako lahko na splošno zapišemo enačbo prve stopnje, kot sledi.
Razmislite o dveh realnih številkah The in B z ≠ 0 je naslednji izraz polinomska enačba prve stopnje:
ax + b = 0
Za rešitev te enačbe moramo uporabiti načelo enakovrednosti, torej vse, kar deluje na eni strani enakosti, mora delovati tudi na drugi strani. Za določitev rešitve enačbe prve stopnje moramo izolirati neznano. Za to je prvi korak odpraviti B na levi strani enakosti in nato odštejvesla b na obeh straneh enakosti.
sekira + b - B = 0 - B
ax = - b
Upoštevajte, da vrednost neznanega x ni izolirana, koeficient a je treba izločiti z leve strani enakosti, za to pa delimo obe strani z The.
- Primer
Reši enačbo 5x + 25 = 0.
Za rešitev problema moramo uporabiti načelo enakovrednosti. Da bi olajšali postopek, bomo izpustili pisanje operacije na levi strani enakosti, Enakovredno potem rečemo, da bomo številko "prenesli" na drugo stran in spremenili predznak (inverzna operacija).
Več o reševanju te vrste enačb izveste v našem besedilu: Enačba prve stopnje z neznano.
Polinomska enačba druge stopnje
Polinomska enačba druge stopnje ima značilnost a polinom druge stopnje. Torej, razmislite o realnih številkah a, b in c z a ≠ 0. Enačba druge stopnje je podana z:
sekira2 + bx + c = 0
Vašo rešitev lahko določite z metodo bhaskara ali s faktoringom. Če želite izvedeti več o enačbah te vrste, preberite: Eqdelovanje sdrugič grau.
→ Metoda Bhaskara
Z uporabo Bhaskarine metode so njene korenine podane z naslednjo formulo:
- Primer
Poiščite rešitev enačbe x2 – 3x + 2 = 0.
Upoštevajte, da so koeficienti enačbe a = 1, b = – 3 in c = 2. Če zamenjamo te vrednosti v formuli, moramo:
→ Faktorizacija
Ugotovite, da je izraz x mogoče faktorizirati2 – 3x + 2 = 0 z uporabo ideje polinomska faktorizacija.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Upoštevajte zdaj, da imamo produkt enak nič, produkt pa je enak nič le, če je eden od faktorjev enak nič, zato moramo:
x – 2 = 0
x = 2
oz
x - 1 = 0
x = 1
Poglejte, da smo rešitev enačbe našli z dvema različnima metodama.
bi-kvadratna enačba
THE bikvadratna enačba je poseben primer polinomske enačbe četrte stopnje, bi bila enačba četrte stopnje običajno zapisana v obliki:
sekira4 + bx3 + škatla2 + dx + e = 0
kjer so številke a B C D in in so resnične z ≠ 0. Enačba četrte stopnje se šteje za bikvadratno, če so koeficienti b = d = 0, torej je enačba v obliki:
sekira4 + škatla2 + in = 0
V spodnjem primeru si oglejte, kako rešiti to enačbo.
- Primer
Rešite x enačbo4 – 10x2 + 9 = 0.
Za rešitev enačbe bomo uporabili naslednjo neznano spremembo in kadar koli je enačba bikvadratna, bomo to spremembo naredili.
x2 =p
Iz bikvadratne enačbe opazite, da je x4 = (x2)2 in zato moramo:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
za2 – 10p + 9 = 0
Poglejte, da imamo zdaj polinomsko enačbo druge stopnje in lahko uporabimo Bhaskarovo metodo, kot je ta:
Vendar se moramo spomniti, da je bila na začetku vaje narejena neznana sprememba, zato moramo uporabiti vrednost, ki jo najdemo pri zamenjavi.
x2 =p
Za p = 9 imamo:
x2 = 9
x’ = 3
oz
x'' = – 3
Za p = 1
x2 = 1
x’ = 1
oz
x'' = – 1
Zato je niz rešitev bikvadratne enačbe:
S = {3, –3, 1, –1}
Preberite tudi: Briot-Ruffinijeva praktična naprava – delitev polinomov
Temeljni izrek algebre (TFA)
Temeljni izrek algebre (TFA), ki ga je dokazal Gauss leta 1799, pravi, da ima vsaka polinomska enačba, kot sledi, vsaj en kompleksen koren.
Koren polinomske enačbe je njena rešitev, torej neznana vrednost je tisto, zaradi česar je enakost resnična. Enačba prve stopnje ima na primer že določen koren, tako kot enačba druge stopnje, ki ima vsaj dva korena, in bikvadrat, ki ima vsaj štiri korene.
rešene vaje
Vprašanje 1 – Določite vrednost x, zaradi katere je enakost resnična.
2x – 8 = 3x + 7
Resolucija
Upoštevajte, da je za rešitev enačbe potrebno jo organizirati, torej pustiti vse neznanke na levi strani enačbe.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Po načelu enakovrednosti lahko obe strani enakosti pomnožimo z istim številom, in ker želimo najti vrednost x, bomo obe strani pomnožili z –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
vprašanje 2 – Marcos ima 20 R$ več kot João. Skupaj jima uspe kupiti dva para superg, ki stanejo 80 R$ za vsak par in brez denarja. Koliko realov ima Janez?
Resolucija
Predpostavimo, da ima Marko x realov, saj ima Janez 20 realov več, torej ima x + 20.
Oznake → x real
João → (x + 20) realov
kako so kupili dva para superg ki stanejo vsak po 80 realov, torej če sestavimo dele vsakega skupaj, bomo morali:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Zato je imel Mark 70 realov, João pa 90 realov.
avtorja Robson Luiz
Učitelj matematike
vir: brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
