Predstavljajte si, da se igrate s frnikolami, da oblikujete trikotnike. Najprej lahko pomislite, da je žoga kot majhen trikotnik:
•
Nato pod njih postavite dva frnikole in tvorite tri oglišča a trikotnik:
•
• •
Če pod te postavite še tri kroglice, bo tvorila še en trikotnik:
•
• •
• • •
Pri vsakem koraku dodajanja kroglic glede na prej postavljeno količino, bo vedno prišlo do tvorbe trikotnikov. Oglejte si trikotnik, ki nastane z dodajanjem še štirih kroglic:
•
• •
• • •
• • • •
Skupno število žogic v vsakem koraku označuje razred števil, ki se imenuje trikotne številke. Matematik Karl Friedrich Gauss je odkril formulo, ki označuje skupno količino v vsakem trikotniku, kjer s1ustreza prvemu trikotniku, s2, do drugega trikotnika in tako naprej. Vsote, ki jih je opisal Gauss, so se začele z a in, na vsaki stopnji je bila dodana številka, ki je ustrezala eni enoti nad zadnjo dodano številko:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Rezultat teh vsot so bila trikotna števila: 1, 3, 6, 10, 15... Upoštevajte, da je v vsaki od teh vsot določen vzorec. Če natančno pogledamo, lahko vidimo, da je vsak od njih a
aritmetična progresija iz razloga 1. Torej tukaj je gausova vsota, ki ugotavlja, da bomo v vsoti konstantnega razmerja, če dodamo prvi element zadnjemu, dobili enak rezultat, kot če bi predzadnjemu dodali drugi element. Poglejmo, kako poteka proces Gaussove vsote za vsote. s6 in s7:
Postopek Gaussove vsote, uporabljen za vsoto trikotnih števil
Ne nehaj zdaj... Po reklami je še več ;)
če ustavi s6 in s7 imamo vsote iz zgornje slike, reproducirajmo to vsoto za s8, S9, S10 in s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Lahko posplošimo, da dobimo vsoto sšt:
sšt = n. (n+1), če je n sodo
2
sšt = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, če je n liho
2 2
tako kot v številčna magija, lahko pokažemo še eno zanimivost o trikotnih številih: vsoto naslednjih trikotnih števil vedno povzroči števila, ki jih je mogoče razvrstiti kot popolne kvadrate, torej števila, ki imajo koren kvadratni. Pa poglejmo:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Dobljeni rezultati, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 in 121, so vsi popolni kvadrati.
Avtor: Amanda Gonçalves
Diplomiral iz matematike
Ali se želite sklicevati na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? Poglej:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Trikotne številke"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Dostop 27. julija 2021.
