O Pascalov trikotnik je precej staro matematično orodje. Skozi zgodovino je dobil več imen, danes pa so najbolj sprejeta aritmetični trikotnik in Pascalov trikotnik. Drugo ime je poklon matematiku, ki je veliko prispeval k preučevanju tega trikotnika. pomeni, da je trikotnik izumil on, vendar je bil on tisti, ki je to globlje preučil orodje.
Iz lastnosti Pascalovega trikotnika ga je mogoče logično sestaviti. Izstopa tudi vaš odnos z kombinacije študiral v kombinatorični analizi. Izrazi Pascalovega trikotnika ustrezajo tudi binomskim koeficientom, zato je zelo uporaben za izračun katerega koli Newtonovega binoma.
Preberite tudi: Briot-Ruffini naprava - metoda za deljenje polinomov
Konstrukcija Pascalovega trikotnika
Pascalov trikotnik nastane iz rezultatov kombinacij, vendar obstaja praktična metoda, ki olajša način za njeno izdelavo. Prva vrstica in prvi stolpec se štejeta kot nič vrstica in nič stolpca. Uporabimo lahko toliko vrstic, kot je potrebno v tej konstrukciji ima torej trikotnik lahko neskončne črte. Razlogi za izdelavo vrstic so vedno enaki. Poglej:
To vemo trikotni izrazi so kombinacije, študiral v kombinatorna analiza. Za zamenjavo Pascalovega trikotnika s številskimi vrednostmi vemo, da so kombinacije števila z ničlo in števila s samim seboj vedno enake 1. Zato sta prva in zadnja vrednost vedno 1.
Da bi našli druge, začnemo z vrstico 2, saj sta vrstica 0 in vrstica 1 že dokončani. V vrstici 2, da bi našli kombinacijo 2 proti 1, v zgornji vrstici, torej v vrstici 1, dodajmo izraz nad njim v isti stolpec in izraz nad njim v prejšnji stolpec, kot je prikazano na sliki :
Po gradnji linije 2 je mogoče zgraditi linijo 3 z enakim postopkom.
V nadaljevanju tega postopka bomo našli vse izraze – v tem primeru do vrstice 5 –, vendar je mogoče zgraditi toliko vrstic, kot je potrebno.
Lastnosti Pascalovega trikotnika
Nekaj jih je lastnosti Pascalovega trikotnika, zaradi pravilnosti njegove gradnje. Te lastnosti so uporabne za delo s kombinacijami, konstrukcijo samih trikotnih črt ter vsoto črt, stolpcev in diagonal.
1. lastnost
Prva lastnost je bila tista, s katero smo zgradili trikotnik. Torej do poišči izraz v Pascalovem trikotniku, samo dodajte izraz, ki je v vrstici nad njim, in isti stolpec z izrazom, ki je v stolpcu in vrstici pred njim. To lastnost je mogoče predstaviti na naslednji način:
Ta lastnost je znana kot Stifelov odnos in pomembno je olajšati gradnjo trikotnika in poiskati vrednosti vsake od vrstic.
2. lastnost
Vsota vseh členov v vrsti se izračuna z:
sšt=2št, Na čem št je številka vrstice.
Primeri:
S to lastnostjo je mogoče vedeti vsota vseh členov na premici ne da bi bilo treba konstruirati Pascalov trikotnik. Vsoto vrstice 10, na primer, je mogoče izračunati z 210 = 1024. Čeprav vsi izrazi niso znani, je že mogoče poznati vsoto vrednosti celotne vrstice.
3. lastnina
Vsota izrazov v zaporedju od začetka danega stolpca za do določene črte št je enak izrazu na vrstici n+1 hrbet in stolpec p+1 kasneje, kot je prikazano spodaj:
4. lastnost
Vsota diagonale, ki se začne v stolpcu 0 in gre do izraza v stolpcu p in vrstici n, je enaka izrazu v istem stolpcu (p), vendar v spodnji vrstici (n+1), kot je prikazano na sliki :
5. lastnost
V vrsticah Pascalovega trikotnika je simetrija. Prvi in drugi člen sta enaka, drugi in predzadnji člen sta enaka itd.
Primer:
6. vrstica: 1615 20 156 1.
Upoštevajte, da so izrazi enaki dva proti dve, razen osrednjega izraza.
Glej tudi: Polinomska deljenje: kako to rešiti?
Newtonov binom
Definiramo Newtonov binom a moč enega polinom ki ima dva izraza. Izračun binoma je povezan s Pascalovim trikotnikom, ki postane mehanizem za izračun tega, kar imenujemo binomski koeficienti. Za izračun binoma uporabimo naslednjo formulo:
Upoštevajte, da je vrednost eksponenta The upada, dokler v zadnjem členu ni enak The0. Vemo, da je vsako število, dvignjeno na 0, enako 1, od tod tudi izraz The se ne pojavi v zadnjem mandatu. Upoštevajte tudi, da je eksponent B se začne z B0, kmalu B se ne pojavi v prvem mandatu in se povečuje, dokler ne doseže Bšt, v zadnjem mandatu.
Poleg tega je število, ki spremlja vsak izraz, tisto, čemur pravimo koeficient – v tem primeru znan kot binomski koeficient. Če želite bolje razumeti, kako rešiti to vrsto binoma, odprite naše besedilo: Newtonov binom.
binomski koeficient
Binomski koeficient ni nič drugega kot kombinacija, ki jo je mogoče izračunati s formulo:
Za lažji izračun Newtonovega binoma pa je nujno uporabiti Pascal trikotnik, saj nam hitreje poda rezultat kombinacije.
Primer:
Da bi našli rezultat binomskega koeficienta, poiščimo vrednosti 5. vrstice Pascalovega trikotnika, ki so {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 let5
Enostavno povedano:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
rešene vaje
Vprašanje 1 - Vrednost spodnjega izraza je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Resolucija
Alternativa A.
Če ponovno združimo pozitivne in negativne vrednosti, moramo:
Upoštevajte, da dejansko izračunamo odštevanje med vrstico 4 in vrstico 3 Pascalovega trikotnika. Po lastnini vemo, da:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2. vprašanje - Kakšna je vrednost spodnjega izraza?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Resolucija
Alternativa B.
Upoštevajte, da dodajamo izraze iz 1. stolpca Pascalovega trikotnika v vrstico 7, nato v 3. vrednost te vsote je enaka izrazu, ki zaseda vrstico 7+1 in stolpec 1+1, to je vrstico 8, stolpec 2. Ker želimo samo eno vrednost, gradnja celotnega Pascal trikotnika ni priročna.
Avtor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
vir: brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm