Eksponentna funkcija: 5 komentiranih vaj

THE eksponentna funkcija je vsaka funkcija ℝ v ℝ^*_+, definirano z f (x) = a^x, kjer je a realno število, večje od nič in ne enako 1.

Izkoristite komentirane vaje, da razjasnite vse svoje dvome glede te vsebine, in preverite svoje znanje v razrešenih vprašanjih natečajev.

Komentirane vaje

Vaja 1

Skupina biologov preučuje razvoj določene kolonije bakterij in ugotovili, da je v idealnih pogojih število bakterij mogoče najti z izrazom N (t) = 2000. 2^0,5t, t v urah.

Glede na te pogoje, koliko časa po začetku opazovanja bo število bakterij enako 8192000?

Rešitev

V predlaganem primeru poznamo število bakterij, torej vemo, da je N (t) = 8192000, in želimo najti vrednost t. Torej, samo nadomestite to vrednost v danem izrazu:

Za rešitev te enačbe zapišimo število 4096 v proste faktorje, kajti če imamo enako osnovo, lahko enačimo eksponente. Torej, če upoštevamo število, imamo:

Tako bo v kulturi po 1 dnevu (24 urah) od začetka opazovanja 8 192 000 bakterij.

Vaja 2

Radioaktivni materiali imajo naravno težnjo, da sčasoma razpadejo svojo radioaktivno maso. Čas, ki traja, da polovica radioaktivne mase razpade, se imenuje njen razpolovni čas.

Količina radioaktivnega materiala določenega elementa je podana z:

Biti,

N (t): količina radioaktivne snovi (v gramih) v določenem času.
N₀: začetna količina materiala (v gramih)
T: čas razpolovne dobe (v letih)
t: čas (v letih)

Glede na to, da je razpolovna doba tega elementa 28 let, določite čas, potreben, da se radioaktivni material zmanjša na 25% njegove prvotne količine.

Rešitev

Za predlagano situacijo A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 A₀, tako da lahko napišemo dani izraz in nadomestimo T za 28 let, nato:

Zato bo trajalo 56 let, da se količina radioaktivnih snovi zmanjša za 25%.

Natečajna vprašanja

1) Unesp - 2018

Ibuprofen je predpisano zdravilo za bolečino in vročino z razpolovnim časom približno 2 uri. To pomeni, da bo na primer po 2 urah zaužitja 200 mg ibuprofena v pacientovem krvnem obtoku ostalo le 100 mg zdravila. Po nadaljnjih 2 urah (skupaj 4 ure) bo v krvnem obtoku ostalo le 50 mg itd. Če bolnik prejme 800 mg ibuprofena vsakih 6 ur, bo količina tega zdravila, ki ostane v krvnem obtoku 14. uro po zaužitju prvega odmerka,

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Glejte Odgovor

Ker je začetna količina zdravila v krvnem obtoku vsaki dve uri deljena na polovico, lahko to predstavimo po naslednji shemi:

Upoštevajte, da je eksponent v vsaki situaciji enak času, deljenemu z 2. Tako lahko z uporabo naslednjega izraza določimo količino zdravil v krvnem obtoku kot funkcijo časa:

Biti

Q (t): količina v dani uri
V₀: začetna zaužita količina
t: čas v urah

Glede na to, da smo na 6 ur zaužili 800 mg ibuprofena, potem imamo:

Da bi našli količino zdravil v krvnem obtoku 14 ur po zaužitju 1. odmerka, moramo dodati količine, ki se nanašajo na 1., 2. in 3. odmerek. Pri izračunu teh količin imamo:

Količino prvega odmerka bomo našli glede na čas, ki je enak 14 h, zato imamo:

Za drugi odmerek, kot je prikazano na zgornjem diagramu, je bil čas 8 ur. Če nadomestimo to vrednost, imamo:

Čas za 3. odmerek bo le 2 uri. Količina, povezana s 3. odmerkom, bo nato:

Zdaj, ko poznamo količine za vsak zaužit odmerek, lahko skupno količino poiščemo tako, da dodamo vsako od najdenih količin:

V_skupaj= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Jezero, ki je služilo za oskrbo mesta, je bilo onesnaženo po industrijski nesreči in doseglo raven toksičnosti T₀, kar ustreza desetkratni začetni ravni.
Preberite spodnje informacije.

• Naravni pretok jezera omogoča obnovo 50% njegove prostornine vsakih deset dni.
• Stopnjo toksičnosti T (x) po x dneh nesreče lahko izračunamo po naslednji enačbi:

Upoštevajte D najmanjše število dni prekinitve oskrbe z vodo, ki je potrebno, da se strupenost vrne na začetno raven.
Če je log 2 = 0,3, je vrednost D enaka:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Glejte Odgovor

Za vrnitev na začetno raven toksičnosti je potrebno:

Če v tej funkciji nadomestimo to vrednost, imamo:

Če pomnožimo v "križ", enačba postane:

2 ^0,1x= 10

Na obeh straneh uporabimo osnovni logaritem 10, da ga spremenimo v enačbo 1. stopnje:

dnevnik (2^0,1x) = dnevnik 10

Če se spomnimo, da je dnevnik 10 v osnovi 10 enak 1, bo naša enačba videti tako:

0,1x log 2 = 1

Glede na to, da je log 2 = 0,3 in nadomestimo to vrednost v enačbi:

Tako je približno najmanj dni, ko je treba dobavo začasno ustaviti, 34 dni.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Naj bo f: ℝ → ℝ in g: ℝ₊ → ℝ definirano z

oz.

Graf sestavljene funkcije g_ºvera:

Glejte Odgovor

Graf, ki ga iščete, je sestavljena funkcija g_ºf, zato je prvi korak določitev te funkcije. Za to moramo funkcijo f (x) nadomestiti z x funkcije g (x). S to zamenjavo bomo našli:

Z uporabo lastnosti logaritma količnika in moči imamo:

Upoštevajte, da je zgoraj najdena funkcija tipa ax + b, ki je afinna funkcija. Torej bo vaš graf ravna črta.

Tudi naklon a je enak hlodu₁₀ 5, kar je pozitivno število, zato se bo graf povečeval. Na ta način lahko odpravimo možnosti b, c in e.

Preostaneta nam možnosti a in d, če pa je x = 0, imamo gof = - log₁₀ 2, kar je negativna vrednost, kot je predstavljena v grafu a.

Alternativa a)

4) Unicamp - 2014

Spodnji graf prikazuje krivuljo biotskega potenciala q (t) za populacijo mikroorganizmov skozi čas t.

Ker sta a in b resnični konstanti, je funkcija, ki lahko predstavlja ta potencial

a) q (t) = pri + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = pri² + bt
d) q (t) = a + log _B t

Glejte Odgovor

Iz prikazanega grafa lahko razberemo, da je funkcija t = 0 enaka 1000. Poleg tega je mogoče opaziti tudi, da funkcija ni afinna, saj graf ni ravna črta.

Če bi bila funkcija tipa q (t) = at²+ bt, če je t = 0, bi bil rezultat enak nič in ne 1000. Torej tudi to ni kvadratna funkcija.

Kako se prijaviti_B0 ni definirano niti ne bi moglo imeti za odgovor funkcije q (t) = a + log_Bt.

Tako bi bila edina možnost funkcija q (t) = ab^t. Glede na t = 0 bo funkcija q (t) = a, saj je a konstantna vrednost, zadošča, da je enaka 1000, da funkcija ustreza danemu grafu.

Alternativa b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Sindikat delavcev podjetja predlaga, da najnižja plača v razredu znaša 1.800,00 R $ in predlaga fiksno povečanje v odstotkih za vsako leto, namenjeno delu. Izraz, ki ustreza predlogu (-om) za plačo v odvisnosti od delovne dobe (t) v letih, je s (t) = 1800. (1,03)^t .

Po predlogu sindikata bo plača strokovnjaka iz tega podjetja z dvema letoma delovne dobe dejansko

a) 7 416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1.909,62.

Glejte Odgovor

Izraz za izračun plače v odvisnosti od časa, ki ga predlaga sindikat, ustreza eksponentni funkciji.

Če želimo najti vrednost plače v navedeni situaciji, izračunajmo vrednost s, ko je t = 2, kot je navedeno spodaj:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909,62

Preberite tudi vi:

• Eksponentna funkcija
• Logaritem
• Logaritem - vaje
• Lastnosti logaritma
• Potenciranje
• vaje za potenciranje
• Afinna funkcija
• Linearna funkcija
• Povezane vaje funkcij
• Kvadratna funkcija
• Kvadratna funkcija - vaje
• Matematične formule