Trigonometrija je pomembna tema v matematiki, ki poleg ostalih trigonometričnih funkcij omogoča poznavanje stranic in kotov v pravokotnem trikotniku skozi sinus, kosinus in tangento.
Če želite izboljšati študij in razširiti svoje znanje, sledite seznamu 8 vaj ter 4 vprašanji o sprejemnih izpitih, ki so rešena korak za korakom.
Vaja 1
Zjutraj je opazoval senco stavbe na tleh in ugotovil, da je ta izmerila 63 metrov, ko so sončni žarki s površino naredili kot 30 °. Na podlagi teh informacij izračunajte višino stavbe.
Pravilen odgovor: približno 36,37 m.
Zgradba, senca in sončni žarek določajo pravokoten trikotnik. Z uporabo kota 30 ° in tangente lahko določimo višino stavbe.
Ker je višina stavbe h, imamo:
Vaja 2
Na obodu s premerom 3 odsek AC, imenovan tetiva, tvori kot 90 ° z drugo tetijo CB enake dolžine. Kakšna je mera strun?
Pravilen odgovor: Dolžina vrvi je 2,12 cm.
Ker segmenta AC in CB tvorita kot 90 ° in imata enako dolžino, je oblikovan trikotnik enakokrak in osnovni koti so enaki.
Ker je vsota notranjih kotov trikotnika enaka 180 ° in imamo že kot 90 °, je ostalo še 90 °, ki jih je treba enakomerno razdeliti med osnovnima kotoma. Tako je njihova vrednost enaka 45 °.
Ker je premer enak 3 cm, je polmer 1,5 cm in lahko s pomočjo kosinusa 45 ° določimo dolžino vrvice.
3. vaja
Kolesar, ki sodeluje na prvenstvu, se približa cilju na vrhu klanca. Skupna dolžina tega zadnjega dela preskusa je 60 m, kot med klančino in vodoravno ravnino pa je 30 °. Če to veste, izračunajte navpično višino, ki jo mora kolesar preplezati.
Pravilen odgovor: Višina bo 30 m.
Če pokličemo višino h, imamo:
4. vaja
Naslednjo sliko tvorijo trije trikotniki, kjer višina h določa dva prava kota. Vrednosti elementov so:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Poiščite vrednost a + b.
Pravi odgovor:
Meritve segmentov a in b lahko določimo s pomočjo tangente danih kotov.
Izračun:
Izračun b:
Tako
5. vaja
Letalo je vzletelo iz mesta A in v ravni črti preletelo 50 km, dokler ni pristalo v mestu B. Potem je preletel še 40 km, tokrat proti mestu D. Ti dve poti sta med seboj pod kotom 90 °. Vendar pa je pilot zaradi neugodnih vremenskih razmer s kontrolnega stolpa prejel sporočilo, da ne more pristati v mestu D in naj se vrne v mesto A.
Da bi lahko zavil obrat iz točke C, bi moral pilot zaviti za koliko stopinj v desno?
Razmislite:
greh 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
rjava 51 ° = 1,25
Pravilen odgovor: Pilot mora zaviti za 129 ° v desno.
Pri analizi slike vidimo, da pot tvori pravokotni trikotnik.
Poimenujmo kot, ki ga iščemo W. Kota W in Z sta dopolnilna, to pomeni, da tvorita plitev kot 180 °.
Tako je W + Z = 180 °.
Š = 180 - Z (enačba 1)
Naša naloga je zdaj določiti kot Z in za to bomo uporabili njegov tangens.
Vprašati se moramo: Kakšen je kot, katerega tangenta je 1,25?
Težava nam daje te podatke, tan 51 ° = 1,25.
To vrednost lahko najdete tudi v trigonometrični tabeli ali z znanstvenim kalkulatorjem z uporabo funkcije:
Če v enačbi 1 nadomestimo vrednost Z, imamo:
Š = 180 ° - 51 ° = 129 °
6. vaja
Žarek enobarvne svetlobe pri prehodu iz enega medija v drugega trpi proti njemu. Ta sprememba v njegovem širjenju je povezana z lomnimi količniki medija, kot je prikazano v naslednjem razmerju:
Snelllov zakon - Descartes
Kjer sta i in r vpadna in lomna kota, n1 in n2 pa lomni količnik sredstev 1 in 2.
Pri udarcu na površino ločitve med zrakom in steklom žarek svetlobe spremeni smer, kot je prikazano na sliki. Kakšen je lomni količnik stekla?
Podatki: Lomni količnik zraka enak 1.
Pravilen odgovor: Lomni količnik stekla je enak .
Zamenjava vrednosti, ki jih imamo:
Vaja 7
Za vlečenje lesenega hloda v svojo delavnico je ključar privezal vrv na hlod in ga potegnil deset metrov po vodoravni površini. Sila 40 N skozi vrvico je v smeri vožnje naredila kot 45 °. Izračunajte delo uporabljene sile.
Pravilen odgovor: Opravljeno delo je približno 84,85 J.
Delo je skalarna količina, dobljena z zmnožkom sile in premika. Če sila nima enake smeri kot premik, moramo to silo razgraditi in upoštevati samo komponento v tej smeri.
V tem primeru moramo velikost sile pomnožiti s kosinusom kota.
Torej imamo:
Vaja 8
Med dvema gorama so morali prebivalci dveh vasi težje pot gor in dol. Za razrešitev razmer je bilo sklenjeno, da se med vasmi A in B zgradi kabelski most
Treba bi bilo izračunati razdaljo med obema vasema po ravni črti, po kateri bi bil most raztegnjen. Ker so prebivalci že poznali višino mest in kote vzpona, je bilo to razdaljo mogoče izračunati.
Na podlagi spodnjega diagrama in vedoč, da je bila višina mest 100 m, izračunajte dolžino mostu.
Pravilen odgovor: Most bi moral biti dolg približno 157,73 m.
Dolžina mostu je vsota stranic, ki mejijo na dane kote. Če pokličemo višino h, imamo:
Izračun s kotom 45 °
Izračun s kotom 60 °
Za določitev dolžine mostu seštejemo dobljene vrednosti.
Vprašanje 1
Cefet - SP
V trikotniku ABC spodaj je CF = 20 cm in BC = 60 cm. Označite meritve segmentov AF oziroma BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Odgovor: b) 10, 20
Za določitev AF
Upoštevamo, da je AC = AF + CF, zato moramo:
AF = AC - CF (enačba 1)
CF je določen s problemom, ki je enak 20 cm.
AC lahko določimo s pomočjo 30 ° sinusa.
BC predstavlja problem, ki je enak 60 cm.
Če v enačbi 1 nadomestimo, imamo:
Za določitev BE
Prvo opazovanje:
Preverimo, ali je slika znotraj trikotnika pravokotnik, zaradi pravih kotov, določenih na sliki.
Zato so njihove stranice vzporedne.
Drugo opazovanje:
Segment BE tvori pravokotni trikotnik s kotom 30 °, kjer je: višina enaka AF, ki smo jo pravkar določili, BE pa je hipotenuza.
Izračun:
Za določitev BE uporabljamo sinus 30 °
2. vprašanje
EPCAR-MG
Letalo vzleti s točke B pod stalnim naklonom 15 ° v vodoravni smeri. 2 km od B je navpična projekcija C najvišje točke D 600 m visokega pogorja, kot je prikazano na sliki.
Podatki: cos 15 ° = 0,97; greh 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Pravilno je reči, da:
a) Letalo ne bo trčilo v žago, preden bo doseglo 540 m višine.
b) Med ravnino in žago bo prišlo do trka na višini 540 m.
c) Letalo bo trčilo v žago v D.
d) Če letalo vzleti 220 m pred B in ohrani enak naklon, ne bo prišlo do trčenja letala z žago.
Odgovor: b) Med ravnino in žago bo prišlo do trka na višini 540 m.
Najprej je treba uporabiti isti večkratnik enote za merjenje dolžine. Zato bomo šli 2 km do 2000 m.
Po enakih začetnih pogojih leta lahko predvidimo višino, na kateri bo letalo v navpični projekciji točke C.
Z uporabo 15 ° tangente in določitvijo višine kot h imamo:
3. vprašanje
ENEM 2018
Za okrasitev ravnega krožnega valja bo uporabljen pravokoten trak prozornega papirja, na katerem je krepko narisana diagonala, ki tvori 30 ° s spodnjim robom. Polmer dna valja meri 6 / π cm, pri navijanju traku pa dobimo črto v obliki vijačnice, kot je prikazano na sliki.
Merilna vrednost višine valja v centimetrih je:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Odgovor: b) 24√3
Ob opazovanju slike opazimo, da je bilo okoli valja narejenih 6 obratov. Ker gre za raven valj, bomo kjer koli v njegovi višini imeli za osnovo krog.
Za izračun mere osnove trikotnika.
Dolžino kroga lahko dobimo iz formule:
Kjer je r polmer e, enak ,imamo:
Kako je 6 krogov:
Za izračun višine lahko uporabimo 30 ° tan.
4. vprašanje
ENEM 2017
Sončni žarki dosežejo površino jezera pod kotom X s svojo površino, kot je prikazano na sliki.
Pod določenimi pogoji lahko domnevamo, da je jakost svetlobe teh žarkov na površini jezera podana približno z I (x) = k. sin (x), pri čemer je k konstanta, in ob predpostavki, da je X med 0 ° in 90 °.
Ko je x = 30 °, se svetlobna jakost zmanjša na koliko odstotkov njegove največje vrednosti?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Odgovor: B) 50%
Z zamenjavo vrednosti sinusa 30 ° v funkciji dobimo:
Po zmanjšanju vrednosti k za polovico je intenzivnost 50%.
Vadite več vaj v:
Trigonometrijske vaje
Razširite svoje znanje z:
Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
Metrične relacije v pravokotnem trikotniku
Trigonometrija