Kompleksna števila: opredelitev, operacije in vaje

Kompleksne številke so števila, sestavljena iz resničnega in namišljenega dela.

Predstavljajo množico vseh urejenih parov (x, y), katerih elementi pripadajo množici realnih števil (R).

Nabor kompleksnih števil je označen z Ç in opredeljeni s postopki:

• Enakost: (a, b) = (c, d) ↔ a = c in b = d
• Dodatek: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Množenje: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Imaginarna enota (i)

Označeno s pismom jaz, namišljena enota je urejeni par (0, 1). Kmalu:

jaz. i = -1 ↔ i² = –1

Tako jaz je kvadratni koren –1.

Algebrska oblika Z

Algebrska oblika Z se uporablja za predstavitev kompleksnega števila po formuli:

Z = x + yi

Kje:

• x je realno število, ki ga označuje x = Re (Z), ki se kliče realni del z.
• y je realno število, ki ga prikliče y = Im (Z) namišljeni del Z.

Konjugat kompleksne številke

Konjugat kompleksnega števila je označen z z, opredeljeno z z = a - bi. Tako se zamenja znak njegovega namišljenega dela.

Torej, če je z = a + bi, potem je z = a - bi

Ko množimo kompleksno število s konjugatom, bo rezultat realno število.

Enakost med kompleksnimi številkami

Kot dve kompleksni številki Z₁ = (a, b) in Z₂ = (c, d), so enaki, kadar je a = c in b = d. To je zato, ker imajo enake resnične in namišljene dele. Tako:

a + bi = c + di Kdaj a = c in b = d

Operacije s kompleksnimi številkami

S kompleksnimi števili je mogoče izvajati operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Oglejte si definicije in primere spodaj:

Dodatek

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

V algebrski obliki imamo:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Primer:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Odštevanje

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

V algebrski obliki imamo:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Primer:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Množenje

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

V algebrski obliki uporabljamo distribucijsko lastnost:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (jaz² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Primer:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Divizija

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

V zgornji enakosti, če je Z₃ = x + yi, imamo:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Po sistemu neznank x in y imamo:

cx - dy = a
dx + cy = b

Kmalu,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Primer:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Vaje sprejemnega izpita s povratnimi informacijami

1. (UF-TO) Razmislite jaz namišljena enota kompleksnih števil. Vrednost izraza (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Glejte Odgovor

Alternativa c: 16

2. (UEL-PR) Kompleksno število z, ki preveri enačbo iz - 2w (1 + i) = 0 (w označuje konjugat z):

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Glejte Odgovor

Alternativa e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Razmislite o kompleksnem številu z = cos π / 6 + i sin π / 6. vrednost z³ + Z⁶ + Z¹² é:

tam
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Glejte Odgovor

Alternativa d: i

Oglejte si več vprašanj s komentirano resolucijo v Vaje na kompleksnih številkah.

Video lekcije

Če želite razširiti svoje znanje o kompleksnih številkah, si oglejte videoposnetek "Uvod v kompleksne številke"

Uvod v kompleksna števila

Zgodovina kompleksnih števil

Do odkritja kompleksnih števil je prišlo v 16. stoletju po zaslugi matematika Girolama Cardano (1501-1576).

Vendar pa je matematiko Carl Friedrich Gauss (1777-1855) te študije formaliziral šele v 18. stoletju.

To je bil velik korak naprej v matematiki, saj ima negativno število kvadratni koren, kar je bilo do odkritja kompleksnih števil nemogoče.

Če želite izvedeti več, glejte tudi

• Numerični nizi
• Polinomi
• iracionalna števila
• Enačba 1. stopnje
• Potenciranje in sevanje