Povprečje, moda in median

Srednja vrednost, način in mediana so merila osrednje težnje, ki se uporabljajo v statistiki.

Povprečno

Povprečje (M_in) se izračuna z dodajanjem vseh vrednosti v naboru podatkov in deljenjem s številom elementov v tem naboru.

Ker je srednja vrednost mera, občutljiva na vzorčne vrednosti, je primernejša za primere, ko so podatki bolj ali manj enakomerno porazdeljeni, to je vrednosti brez velikih odstopanj.

Formula

Biti,

M_in: povprečje
x₁, x₂, x₃,..., x_št: vrednosti podatkov
n: število elementov nabora podatkov

Primer

Igralci košarkarske ekipe imajo naslednje starosti: 28, 27, 19, 23 in 21 let. Kakšna je povprečna starost te ekipe?

Rešitev

Preberite tudi vi Preprosto povprečje in ponderirano povprečje in Geometrijska sredina.

Moda

Moda (M_O) predstavlja najpogostejšo vrednost nabora podatkov, zato je za njegovo določitev dovolj, da opazujemo pogostost pojavljanja vrednosti.

Podatkovni niz se imenuje bimodalni, če ima dva načina, to pomeni, da sta dve vrednosti pogostejši.

Primer

V trgovini s čevlji za en dan so prodali naslednje številke čevljev: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 in 41. Kakšna je modna vrednost tega vzorca?

Rešitev

Ob opazovanju prodanih številk smo opazili, da je bila številka 36 tista z najvišjo frekvenco (3 pari), zato je način enak:

M_O = 36

mediana

Mediana (M_d) predstavlja osrednjo vrednost nabora podatkov. Če želite poiskati srednjo vrednost, morate vrednosti postaviti v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu.

Ko je število elementov v množici sodo, se mediana najde v povprečju obeh osrednjih vrednosti. Tako se te vrednosti seštejejo in delijo z dvema.

Primeri

1) V šoli je učitelj športne vzgoje ugotovil višino skupine učencev. Glede na to, da so bile izmerjene vrednosti: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m in 1,78 m, kolikšna je srednja vrednost višin študentov?

Rešitev

Najprej moramo vrednosti spraviti v red. V tem primeru ga postavimo v naraščajoči vrstni red. Tako bo nabor podatkov:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Ker je sklop sestavljen iz 9 elementov, kar je liho število, bo mediana enaka 5. elementu, to je:

M_d = 1,65 m

2) Izračunajte srednjo vrednost naslednjega vzorca podatkov: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Rešitev

Najprej moramo podatke spraviti v red, zato imamo:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Ker je ta vzorec sestavljen iz 6 elementov, kar je sodo število, bo mediana enaka povprečju osrednjih elementov, to je:

Če želite izvedeti več, preberite tudi:

• Statistika
• Razpršeni ukrepi
• Varianca in standardni odklon

Rešene vaje

1. (BB 2013 - Fundacija Carlosa Chagasa). V prvih štirih delovnih dneh v tednu je upravitelj podružnice banke služil 19, 15, 17 in 21 strankam. Peti delovni dan tega tedna se je ta upravitelj udeležil n strank.

Če je bilo povprečno dnevno število strank, ki jih je ta upravitelj postregel v petih delovnih dneh tega tedna, 19, je bila mediana

a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.

Glejte Odgovor

Čeprav že poznamo povprečje, moramo najprej vedeti število strank, ki so jih postregli peti delovni dan. Tako:

Če želimo najti mediano, moramo vrednosti postaviti v naraščajoči vrstni red, tako da imamo: 15, 17, 19, 21, 23. Zato je mediana 19.

Alternativa: b) 19.

2. (ENEM 2010 - vprašanje 175 - Prova Rosa). Spodnja tabela prikazuje uspešnost nogometne ekipe v zadnjem prvenstvu.

Levi stolpec prikazuje število doseženih golov, desni stolpec pa pove, koliko iger je ekipa dosegla toliko golov.

Zadetki golov	Število zadetkov
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Če so X, Y in Z srednja, mediana in način te porazdelitve, potem

a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z

Glejte Odgovor

Izračunati moramo srednjo vrednost, mediano in način. Za izračun povprečja moramo dodati skupno število zadetkov in deliti s številom tekem.

Skupno število golov bomo našli tako, da bomo število doseženih golov pomnožili s številom tekem, to je:

Skupni cilji = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45

Če je skupno število tekem 20, bo povprečje zadetkov enako:

Če želite najti modno vrednost, preverimo najpogostejše štetje golov. V tem primeru ugotavljamo, da na 5 tekmah ni bil dosežen noben gol.

Po tem rezultatu so bile najpogostejše tekme, ki so imele 2 zadetka (skupaj 4 tekme). Zato

Z = M_O = 0

Mediano bomo našli tako, da postavimo številke ciljev po vrstnem redu. Ker je bilo število iger enako 20, kar je enakomerna vrednost, moramo izračunati povprečje med obema osrednjima vrednostma, zato imamo:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

S temi rezultati vemo, da:

X (povprečje) = 2,25
Y (mediana) = 2
Z (način) = 0

Se pravi Z

Alternativa: e) Z

Glej tudi:

• Vrste grafike
• Standardni odklon
• Statistika - vaje
• Matematika v Enem