THE teorija verjetnosti je veja Matematike, ki preučuje poskuse ali naključne pojave in preko nje je mogoče analizirati možnosti za določen dogodek.
Ko izračunamo verjetnost, povezujemo stopnjo zaupanja, da se bodo pojavili možni rezultati poskusov, katerih rezultatov ni mogoče določiti vnaprej.
Na ta način izračun verjetnosti poveže pojav rezultata z vrednostjo, ki se spreminja od 0 do 1, in bližje kot je rezultat 1, večja je gotovost njegovega pojava.
Na primer, lahko izračunamo verjetnost, da bo oseba kupila dobitek na loteriji ali pozna verjetnost, da bo imel par pet otrok, vsi fantje.
naključni poskus
Naključni eksperiment je tisti, ki ne more predvideti, kakšen rezultat bo najden, preden ga izvedemo.
Tovrstni dogodki, kadar se ponovijo pod enakimi pogoji, lahko dajo različne rezultate in to neskladnost pripišemo naključju.
Primer naključnega eksperimenta je premikanje nepristranske matrice (matrice, ki ima homogeno porazdelitev mase) navzgor. Pri padcu ni mogoče z gotovostjo napovedati, kateri od 6 obrazov bo obrnjen navzgor.
Formula verjetnosti
V naključnem pojavu so možnosti za dogodek enako verjetne.
Zato lahko najdemo verjetnost nastopa danega rezultata tako, da delimo število ugodnih dogodkov in skupno število možnih izidov:
Biti:
p (A): verjetnost nastopa dogodka A
ob): število primerov, ki nas zanimajo (dogodek A)
n (Ω): skupno število možnih primerov
Primeri
1) Če vržemo popolno kocko, kakšna je verjetnost, da se bo vrtelo število, manjše od 3?
Rešitev
Kot popolna kocka ima vseh 6 obrazov enake možnosti, da padejo z obrazom navzgor. Torej uporabimo formulo verjetnosti.
Za to moramo upoštevati, da imamo 6 možnih primerov (1, 2, 3, 4, 5, 6) in da ima dogodek "od števila manj kot 3" dve možnosti, torej od števila 1 ali številka 2. Torej imamo:
2) Krov kart sestavlja 52 kart, razdeljenih na štiri obleke (srca, palice, diamanti in pike) s 13 kartami vsake obleke. Če torej naključno izvlečete karto, kakšna je verjetnost, da bo karta prišla iz klubske obleke?
Rešitev
Pri naključnem risanju karte ne moremo predvideti, kakšna bo. To je torej naključni eksperiment.
V tem primeru število kart ustreza številu možnih primerov in imamo 13 klubov, ki predstavljajo število ugodnih dogodkov.
Če te vrednosti nadomestimo v verjetnostni formuli, imamo:
Vzorec prostora
ki ga predstavlja pismo Ω, prostor vzorca ustreza naboru možnih rezultatov, dobljenih iz naključnega eksperimenta.
Na primer, ko naključno vzamete karto iz krova, prostor vzorca ustreza 52 kartam, ki sestavljajo ta krov.
Prav tako je prostor vzorca pri enkratnem valjanju matrice šest obrazov, ki jo sestavljajo:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 in 6}.
Vrste prireditev
Dogodek je katera koli podskupina vzorčnega prostora naključnega eksperimenta.
Ko je dogodek popolnoma enak vzorčnemu prostoru, se imenuje a pravi dogodek. Nasprotno, ko je dogodek prazen, se imenuje a nemogoč dogodek.
Primer
Predstavljajte si, da imamo škatlo s kroglicami oštevilčene od 1 do 20 in da so vse kroglice rdeče.
Dogodek "nariši rdečo kroglico" je zanesljiv dogodek, saj so vse kroglice v polju te barve. Dogodek "nariši številko, večjo od 30" je nemogoč, saj je največja številka v polju 20.
Kombinatorična analiza
V mnogih situacijah je mogoče v naključnem poskusu neposredno odkriti število možnih in ugodnih dogodkov.
Vendar boste morali pri nekaterih težavah izračunati te vrednosti. V tem primeru lahko uporabimo formule permutacije, razporeditve in kombinacije glede na situacijo, predlagano v vprašanju.
Če želite izvedeti več o temi, pojdite na:
- Kombinatorična analiza
- Kombinatorialne analize
- Temeljno načelo štetja
- Permutacija
Primer
(EsPCEx - 2012) Verjetnost, da dobimo število, deljivo z 2, pri naključni izbiri ene od permutacij številk 1, 2, 3, 4, 5 je
Rešitev
V tem primeru moramo ugotoviti število možnih dogodkov, torej koliko različnih števil dobimo s spreminjanjem vrstnega reda danih 5 števk (n = 5).
Ker v tem primeru vrstni red številk tvori različna števila, bomo uporabili formulo permutacije. Zato imamo:
Možni dogodki:
Zato lahko s 5 števkami najdemo 120 različnih števil.
Za izračun verjetnosti moramo še poiskati število ugodnih dogodkov, ki bi v tem primeru je najti število, deljivo z 2, kar se bo zgodilo, ko bo zadnja številka števila 2 oz 4.
Glede na to, da imamo za zadnji položaj le ti dve možnosti, bomo morali zamenjati preostala 4 mesta, ki sestavljajo številko, kot je ta:
Ugodni dogodki:
Verjetnost bomo ugotovili tako:
Preberite tudi vi:
- Pascalov trikotnik
- Kompleksna števila
- Matematika v Enem
Vaja rešena
1) PUC / RJ - 2013
Če je a = 2n + 1 z n ∈ {1, 2, 3, 4}, potem je verjetnost števila The biti par je
do 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Ko v izraz za število a nadomestimo vsako možno vrednost n, opazimo, da bo rezultat vedno neparno število.
Zato je "biti sodo število" nemogoč dogodek. V tem primeru je verjetnost enaka nič.
Alternativa: e) 0
2) UPE - 2013
V skupini tečajev španščine nameravajo trije izmenjati program v Čilu, sedem pa v Španiji. Med temi desetimi ljudmi sta bila dva izbrana za razgovor, ki bo črpal štipendije za študij v tujini. Verjetnost, da ta dva izbrana človeka spadata v skupino tistih, ki nameravata opraviti izmenjavo v Čilu, je
Najprej poiščimo število možnih situacij. Ker izbira dveh oseb ni odvisna od naročila, bomo s kombinacijsko formulo določili število možnih primerov, to je:
Torej obstaja 45 načinov, kako izbrati 2 osebi iz skupine 10 ljudi.
Zdaj moramo izračunati število ugodnih dogodkov, to pomeni, da hočeta dve izbrani osebi opraviti izmenjavo v Čilu. Spet bomo uporabili kombinacijsko formulo:
Torej obstajajo 3 načini, kako izbrati dve osebi od treh, ki želijo študirati v Čilu.
Z najdenimi vrednostmi lahko izračunamo zahtevano verjetnost, tako da v formuli nadomestimo:
Alternativa: b)
Preberite več o nekaterih sorodnih temah:
- Newtonov binom
- Verjetnostne vaje (enostavno)
- Verjetnostne vaje
- Statistika
- Statistika - vaje
- Matematične formule
