Podobnost trikotnikov: komentirane in rešene vaje

THE podobnost trikotnika se uporablja za iskanje neznane mere enega trikotnika, tako da poznamo mere drugega trikotnika.

Ko sta si trikotnika podobna, so mere ustreznih stranic sorazmerne. To razmerje se uporablja za reševanje številnih geometrijskih problemov.

Torej, izkoristite komentirane in rešene vaje, da počistite vse svoje dvome.

Odpravljena vprašanja

1) Mornarski vajenec - 2017

Glej spodnjo sliko

Stavba vrže 30 m dolgo senco na tla v istem trenutku, ko 6 m visoka oseba meče 2,0 m senco. Lahko rečemo, da je višina stavbe vredna

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Glejte Odgovor

Lahko mislimo, da stavba, njena projicirana senca in sončni žarek tvorijo trikotnik. Podobno imamo tudi trikotnik, ki ga tvorijo oseba, njegova senca in sončni žarek.

Glede na to, da so sončni žarki vzporedni in da je kot med stavbo in tlemi ter človekom tla so enaka 90 °, trikotniki, navedeni na spodnji sliki, so podobni (dva kota enako).

Ker so si trikotniki podobni, lahko zapišemo naslednji delež:

Alternativa: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Na sliki ima pravokotnik ABCD stranice dolžine AB = 4 in BC = 2. Naj bo M sredina stranice in N srednji del stranice . Segmenti prestreči segment v točkah E oziroma F.

Površina trikotnika AEF je enaka

Glejte Odgovor

Območje trikotnika AEF lahko najdemo tako, da površino trikotnika ABE zmanjšamo s površine trikotnika AFB, kot je prikazano spodaj:

Začnimo z iskanjem površine trikotnika AFB. Za to moramo ugotoviti višinsko vrednost tega trikotnika, saj je osnovna vrednost znana (AB = 4).

Upoštevajte, da sta si trikotnika AFB in CFN podobna, ker imata dva enaka kota (primer AA), kot je prikazano na spodnji sliki:

Načrtujmo višino H₁, glede na stran AB, v trikotniku AFB. Ker je mera stranice CB enaka 2, lahko upoštevamo, da je relativna višina stranice NC v trikotniku FNC enaka 2 - H₁.

Nato lahko zapišemo naslednji delež:

Če poznamo višino trikotnika, lahko izračunamo njegovo površino:

Če želite poiskati površino trikotnika ABE, boste morali izračunati tudi njegovo višinsko vrednost. Za to bomo uporabili dejstvo, da sta si trikotnika ABM in AOE, navedena na spodnji sliki, podobna.

Poleg tega je trikotnik OEB pravokoten trikotnik, druga dva kota pa sta enaka (45 °), zato je enakokrak trikotnik. Tako sta kraka tega trikotnika vredna H₂, kot spodnja slika:

Tako je stranica AO trikotnika AOE enaka 4 - H_2. Na podlagi teh informacij lahko navedemo naslednji delež:

Če poznamo višinsko vrednost, lahko zdaj izračunamo površino trikotnika ABE:

Tako bo površina trikotnika AFE enaka:

Alternativa: d)

3) Cefet / MG - 2015

Naslednja slika predstavlja pravokotno biljardno mizo s širino in dolžino 1,5 oziroma 2,0 m. Igralec mora metati belo žogo iz točke B in črno žogo udariti v točko P, ne da bi pri tem najprej udaril katero koli drugo. Ker je rumena točka na točki A, bo ta igralec vrgel belo žogo na točko L, da bo lahko odbijala in trčila s črno.

Če sta kot vpadne poti žoge na strani mize in odskočni kot enaka, kot je prikazano na sliki, je razdalja od P do Q v cm približno

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Glejte Odgovor

Trikotniki, označeni z rdečo na spodnji sliki, so si podobni, saj imajo dva enaka kota (kot je enak α in kot je enak 90º).

Zato lahko zapišemo naslednji delež:

Alternativa: a) 67

4) Vojaška šola / RJ - 2015

V trikotniku ABC točki D in E pripadata stranicama AB in AC in sta taki, da DE / / BC. Če je F točka AB tako, da sta EF / / CD in meritvi AF in FD e 4 oziroma 6, je meritev segmenta DB:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Glejte Odgovor

Lahko predstavljamo trikotnik ABC, kot je prikazano spodaj:

Ker je odsek DE vzporeden z BC, sta si trikotnika ADE in ABC podobna, ker sta si kota skladna.

Nato lahko zapišemo naslednji delež:

Tudi trikotnika FED in DBC sta si podobna, saj sta segmenta FE in DC vzporedna. Tako velja tudi naslednji delež:

Če v tem razmerju ločimo y, imamo:

Zamenjava vrednosti y v prvi enačbi:

Alternativa: a) 15

5) Epcar - 2016

Zemljišče v obliki pravokotnega trikotnika bo razdeljeno na dva sklopa z ograjo, narejeno na simetrali hipotenuze, kot je prikazano na sliki.

Znano je, da stranice AB in BC tega terena merijo 80 m oziroma 100 m. Tako je razmerje med obodom sklopa I in obodom sklopa II v tem vrstnem redu

Glejte Odgovor

Da bi ugotovili razmerje med obodoma, moramo poznati vrednost vseh strani na sliki I in sliki II.

Upoštevajte, da simetrala hipotenuze deli stran BC na dva skladna segmenta, tako da segmenta CM in MB meri 50 m.

Ker je trikotnik ABC pravokotnik, lahko izračunamo stranico AC s pomočjo pitagorejskega izreka. Vendar upoštevajte, da je ta trikotnik pitagorejski trikotnik.

Tako je hipotenuza enaka 100 (5. 20) in ena dve nogi enaki 80 (4,20), potem je lahko druga noga enaka le 60 (3,20).

Ugotovili smo tudi, da sta si trikotnika ABC in MBP podobna (primer AA), saj imata skupni kot, drugi pa 90 °.

Torej, da bi našli vrednost x, lahko zapišemo naslednji delež:

Vrednost z lahko najdemo glede na delež:

Vrednost y lahko najdemo tudi tako:

Zdaj, ko poznamo vse strani, lahko izračunamo obsege.

Obseg slike I:

Obseg slike II:

Zato bo razmerje med obodoma enako:

Alternativa: d)

6) Enem - 2013

Lastnik kmetije želi postaviti podporno palico, da bi bolje zavaroval dva stebra z dolžinama 6 m in 4 m. Slika prikazuje dejansko stanje, v katerem so stebrički opisani s segmentama AC in BD ter palico predstavlja odsek EF, pravokoten na tla, ki ga označuje odsek ravne črte AB. Segmenta AD in BC predstavljata jeklenice, ki bodo nameščene.

Kolikšna naj bo vrednost dolžine palice EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Glejte Odgovor

Da bi rešili težavo, poimenujmo višino stebla kot z ter meritve AF in FB segmentov x in y, kot je prikazano spodaj:

Trikotnik ADB je podoben trikotniku AEF, saj imata oba kota 90 ° in skupni kot, zato sta si podobna v primeru AA.

Zato lahko zapišemo naslednji delež:

Pomnožimo "v križ", dobimo enakost:

6x = h (x + y) (I)

Po drugi strani pa si bodo podobni tudi trikotniki ACB in FEB iz istih zgoraj predstavljenih razlogov. Torej imamo delež:

Reševanje na enak način:

4y = h (x + y) (II)

Upoštevajte, da imata enačbi (I) in (II) enak izraz za enačbo, zato lahko rečemo, da:

6x = 4y

V drugi enačbi nadomestimo vrednost x:

Alternativa: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Na sliki je trikotnik ABC pravokoten s stranicama BC = 3 in AB = 4. Poleg tega točka D pripada ključni kosti. , točka E, ki pripada ključni kosti in točka F pripada hipotenuzi , tako da je DECF paralelogram. če , torej je vredno območje paralelograma DECF

Glejte Odgovor

Območje paralelograma najdemo tako, da osnovno vrednost pomnožimo z višino. Poimenujmo h višino in x osnovno mero, kot je prikazano spodaj:

Ker je DECF paralelogram, sta njegovi strani vzporedni dve za dve. Na ta način sta strani AC in DE vzporedni. Torej koti so enaki.

Nato lahko ugotovimo, da sta si trikotnika ABC in DBE podobna (primer AA). Prav tako imamo, da je hipotenuza trikotnika ABC enaka 5 (trikotnik 3,4 in 5).

Na ta način zapišimo naslednji delež:

Za iskanje mere x osnove bomo upoštevali naslednji delež:

Pri izračunu paralelogramske površine imamo:

Alternativa: a)