Vzpostavili smo poklic ko povežemo eno ali več količin. Del naravnih pojavov je mogoče preučevati zaradi razvoja na tem področju matematike. Preučevanje funkcij je razdeljeno na dva dela, imamo splošni del, v katerem preučujemo konceptovna splošno, in poseben del, kjer preučujemo posebnih primerih, kot so polinomske funkcije in eksponentne funkcije.
Glej tudi: Kako grafično prikazati funkcijo?
Kaj so funkcije?
Funkcija je aplikacija, ki povezuje elemente dveh kompleti ni prazen. Razmislite o dveh praznih nizih A in B, kjer je funkcija f povezati vsak element od A do samo en element B.
Če želite bolje razumeti to definicijo, si predstavljajte vožnjo s taksijem. Za vsako potovanje, torej za vsako prevoženo razdaljo, je drugačna in edinstvena cena, to pomeni, da ni smiselno, da ima potovanje dve različni ceni.
To funkcijo, ki sprejema elemente iz niza A v množico B, lahko predstavimo na naslednje načine.
Upoštevajte, da za vsak element niza A obstaja a en sam povezani element z njim v kompletu B. Zdaj lahko konec koncev pomislimo, kdaj razmerje med dvema nizoma ne bo funkcija? No, kadar je element množice A povezan z dvema ločenima elementoma B ali kadar obstajajo elementi množice A, ki niso povezani z elementi B. Poglej:
Na splošno lahko funkcijo napišemo algebarsko tako:
f: A → B
x → y
Upoštevajte, da funkcija zajema elemente iz množice A (predstavljene z x) in jih vodi v elemente B (predstavljene z y). Lahko rečemo tudi, da so elementi množice B podani v smislu elementov množice A, zato lahko y predstavimo z:
y = f(x)
Se glasi: (y enako f od x)
Domena, sodomena in podoba vloge
Ko imamo vlogo f, sorodni nizi dobijo posebna imena. Razmislite torej o funkciji f ki elemente iz niza A prevzame v elemente iz niza B:
f: A → B
Pokliče se množica A, od katere odstopajo odnosi domena funkcije in pokliče se niz, ki prejme "puščice" tega razmerja protidomena. Te sklope označujemo na naslednji način:
Df = A → Domena f
CDf = B → Protidomena f
Pokliče se podskupina nasprotne domene funkcije, ki jo tvorijo elementi, ki se nanašajo na elemente niza Slika funkcije in je označen z:
semf → Slika osebe f
- Primer
Razmislite o funkciji f: A → B, predstavljeni v spodnjem diagramu, in določite domeno, protidomena in sliko.
Kot rečeno, je množica A = {1, 2, 3, 4} domena funkcije f, medtem ko je niz B = {0, 2, 3, –1} protidomena iste funkcije. Zdaj opazite, da je niz, ki ga tvorijo elementi, ki prejmejo puščico (v oranžni barvi), ki ga tvorijo elementi {0, 2, –1}, podmnožica domene B, ta niz je slika funkcije f, tako:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
semf = {0, 2, –1}
Pravimo, da 0 je slika elementa 1 domene, kot tudi 2 to je podoba elementov 2 in 3 domene in –1 je slika elementa 4 domene. Če želite izvedeti več o teh treh konceptih, preberite: Ddomena, sodomena in slika.
Surjektivna funkcija
Funkcija f: A → B bo surjektivno ali surjektivno, če in samo, če nabor slik sovpada s protislovjem, to je če so vsi elementi nasprotja slike.
Takrat pravimo, da je funkcija surjektivna, ko vsi elementi nasprotne domene prejmejo puščice. Če želite poglobiti to vrsto funkcije, obiščite naše besedilo: Funkcija overjet.
Injektivna funkcija
Funkcija f: A → B bo injektivno ali injektivno, če in samo, če imajo različni elementi domene v nasprotni domeni različne slike, to je, podobne slike generirajo podobni elementi domene.
Upoštevajte, da je pogoj, da se različni elementi domene nanašajo na različne elemente protidomene, pri preostalih elementih v domeni pa ni težav. Če želite bolje razumeti ta koncept, lahko preberete besedilo: Funkcija injektorja.
Bijectorjeva funkcija
Funkcija f: A → B bo bijektivno, če in samo, če je injektor in surjektor hkrati, to pomeni, da imajo različni elementi domene ločene slike in slika sovpada s protidomeno.
- Primer
V vsakem primeru utemeljite, ali je funkcija f (x) = x2 gre za injektor, surjektor ali bijektor.
The) f: ℝ+ → ℝ
Upoštevajte, da so domene funkcije vse pozitivne vrednosti, nasprotna domena pa so vsa realna števila. Vemo, da je funkcija f podana z f (x) = x2, zdaj si predstavljamo, da so vsa pozitivna realna števila visoko na kvadrat bodo vse slike tudi pozitivne. Tako lahko sklepamo, da je funkcija injekcijska in ne surjektivna, saj negativna realna števila ne bodo prejela puščic.
Vbrizgava, saj vsak element domene (ℝ+) se nanaša samo na en element nasprotne domene (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funkcija ima v tem primeru domeno kot vsi reali in protidomena kot pozitivne. Vemo, da je vsako realno število na kvadrat pozitivno, zato so vsi elementi nasprotne domene prejeli puščice, zato je funkcija surjektivna. Ne bo vbrizgavanja, ker se elementi domene nanašajo na dva elementa nasprotne domene, na primer:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
V tem primeru ima funkcija domeno in protidomeno kot pozitivni realni številki, zato je funkcija bijector, ker se vsako pozitivno realno število nanaša na eno samo realno število pozitiven nasprotne domene, v tem primeru kvadrat števila. Poleg tega so bile vse številke nasprotne domene prejete s puščicami.
sestavljena funkcija
THE sestavljena funkcija je povezan z ideja bližnjice. Razmislite o treh praznih nizih A, B in C. Upoštevajte tudi dve funkciji f in g, kjer funkcija f elemente x vzame iz množice A v elemente y = f (x) iz množice B, funkcija g pa elemente y = f (x) v elemente z iz množice C.
Sestavljena funkcija prejme to ime, ker gre za aplikacijo, ki elemente iz niza A prevzame neposredno v elemente iz niza C, ne da bi šla skozi niz B, skozi sestavo funkcij f in g. Poglej:
Funkcija, označena z (f o g), vzame elemente iz niza A neposredno v niz C. Imenuje se sestavljena funkcija.
- Primer
Razmislite o funkciji f (x) = x2 in funkcija g (x) = x + 1. Poiščite sestavljene funkcije (f o g) (x) in (g o f) (x).
Funkcija f o g je podana s funkcijo g, ki se uporablja za f, to je:
(f o g) (x) = f (g (x))
Za določitev te sestavljene funkcije moramo upoštevati funkcijo f, in namesto spremenljivke x moramo napisati funkcijo g. Poglej:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Podobno moramo za določitev sestavljene funkcije (g o f) (x) uporabiti funkcijo f v vlogi g, to je, upoštevajte funkcijo g in namesto spremenljivke napišite funkcijo f. Poglej:
(x + 1)
x2 + 1
Zato je sestavljena funkcija (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Enakomerna funkcija
Razmislite o funkciji f: A → ℝ, kjer je A podskupina nepraznih realnih vrednosti. Funkcija f bo enakomerna samo za vse realne x.
Primer
Razmislite o funkciji f: ℝ → ℝ, podano s f (x) = x2.
Upoštevajte, da je za katero koli realno vrednost x, če je kvadrat, rezultat vedno pozitiven, to je:
f (x) = x2
in
f (–x) = (–x)2 = x2
Torej f (x) = f (–x) za katero koli realno vrednost x, torej funkcija f to je par.
Preberite tudi:Lastnosti močis - kaj so in kako ob uporabazrak?
edinstvena funkcija
Razmislite o funkciji f: A → ℝ, kjer je A podskupina nepraznih realnih vrednosti. Funkcija f bo liha samo za vse realne x.
- Primer
Razmislite o funkciji f: ℝ → ℝ, podano s f (x) = x3.
Glejte, da za katero koli vrednost x lahko zapišemo, da (–x)3 = -x3. Oglejte si nekaj primerov:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Torej lahko rečemo, da:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Torej za kateri koli dejanski x f (–x) = –f (x) in tako je funkcija f (x) = x3 je edinstven.
naraščajoča funkcija
Funkcija f é raste v presledku, če in samo, če z rastjo elementov domene rastejo tudi njihove slike. Poglej:
Upoštevajte, da x1 > x2 in podobno se zgodi s sliko, tako da lahko določimo algebraični pogoj za funkcijo f biti raste.
Padajoča funkcija
Funkcija f é zmanjšuje v intervalu, če in samo, če se z naraščanjem elementov domene njihove slike zmanjšujejo. Poglej:
Glejte, v funkcijski domeni imamo ta x1 > x2, vendar se to ne zgodi na sliki funkcije, kjer je f (x1)
stalna funkcija
Kot že ime pove, a funkcija je konstanten kdaj za katero koli vrednost domene, je vrednost slike vedno enaka.
povezane funkcije
THE afina funkcija ali polinom prve stopnje je zapisano v obliki:
f (x) = ax + b
Kjer sta a in b realni številki, a ni nič, vaš graf pa črta. Funkcija ima resnično domeno in tudi resnično protidomeno.
kvadratna funkcija
THE kvadratna funkcija ali polinomska funkcija druge stopnje je dana z a polinom druge stopnje, tako:
f (x) = os2 + bx + c
Kjer so a, b in c realna števila z ničlo, vaš graf pa je a prispodoba. Vloga ima tudi resnično domeno in domeno števca.
modularna funkcija
THE modularna funkcija s spremenljivka x najde-če znotraj modula in algebraično je izraženo z:
f (x) = | x |
Funkcija ima tudi realno domeno in domeno števca, to pomeni, da lahko izračunamo absolutno vrednost katerega koli realnega števila.
eksponentna funkcija
THE eksponentna funkcijaprikaže spremenljivko x v eksponentu. Ima tudi resnično domeno in resnično protidomena in je algebraično opisan z:
f (x) = ax
Kjer je a realno število, večje od nič.
logaritemska funkcija
THE logaritemska funkcija ima spremenljivka v logaritmu in domeno, ki jo tvorijo realna števila, večja od nič.
Trigonometrične funkcije
Ob trigonometrične funkcije imajo spremenljivka x, ki vključuje trigonometrična razmerja, glavni so:
f (x) = greh (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
korenska funkcija
Za korensko funkcijo je značilno, da ima spremenljivka znotraj korena, s tem pa, če je indeks korena sodo, domena funkcije postane le pozitivna realna števila.
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
