THE Značilna je enačba 2. stopnje za enega polinom stopnje 2, to je polinom tipa ax2+ bx + c, kjer The, B in ç so realna števila. Pri reševanju enačbe stopnje 2 nas zanima iskanje vrednosti za neznano. x to pomeni, da je vrednost izraza enaka 0, ki se imenujejo korenine, to je ax2 + bx + c = 0.
Preberite tudi vi: Razlike med funkcijo in enačbo
Vrste enačb 2. stopnje
Enačba 2. stopnje je lahko predstavljeno z ax² + bx + c = 0, kjer so koeficienti The, B in ç so realna števila, z The ≠ 0.
→ Primeri
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 in c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 in c = 2
c) 0,5-krat2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 in c = -1
Enačba 2. stopnje je razvrščena kot popolna ko se vsi koeficienti razlikujejo od 0, to je, The ≠ 0, B ≠ 0 in ç ≠ 0.
Enačba 2. stopnje je razvrščena kot nepopolna ko je vrednost koeficientov B ali ç so enaki 0, to je b = 0 ali c = 0.
→ Primeri
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 in c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 in c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 in c = 0
Glave gor: vrednost koeficienta The nikoli ni enako 0, če se to zgodi, enačba ni več 2. stopnja.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Kako rešiti enačbe 2. stopnje?
Rešitev enačbe 2. stopnje se pojavi, ko korenine najdene vrednosti, to je vrednosti, dodeljene x. Te vrednosti x mora enakost uresničiti, to je z nadomestitvijo vrednosti x v izrazu mora biti rezultat enak 0.
→ Primer
Upoštevajoč x enačbo2 - 1 = 0 imamo, da sta x ’= 1 in x’ ’= - 1 rešitvi enačbe, ker če nadomestimo te vrednosti v izrazu, imamo resnično enakost. Poglej:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 in (–1)2 – 1 = 0
Da bi našli rešitev a enačba, je treba analizirati, ali je enačba popolna in nepopolna, ter izbrati, katero metodo bomo uporabili.
Rešitvena metoda za enačbe tipa ax²+ c = 0
Metoda za določitev rešitve nepopolnih enačb, ki jih imajo B=0sestoji iz izolacije neznanega x, torej:
→ Primer
Poiščite korenine enačbe 3x2 – 27 = 0.
Če želite izvedeti več o tej metodi, pojdite na: nepopolna enačba 2. stopnje z ničelnim koeficientom b.
Rešitvena metoda za enačbe tipa sekira2 + bx = 0
Metoda za določanje možnih rešitev enačbe z ç = 0, je sestavljen iz uporabe faktoring dokazov. Poglej:
sekira2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Ko gledamo zadnjo enakost, je opazno, da gre za množenje in da je rezultat 0, mora biti vsaj eden od faktorjev enak 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 ali ax + b = 0
Tako je rešitev enačbe dana z:
→ Primer
Določite rešitev enačbe 5x2 - 45x = 0
Če želite izvedeti več o tej metodi, pojdite na: nepopolna enačba 2. stopnje z ničelnim koeficientom c.
Rešitvena metoda za popolne enačbe
Metoda, znana kot Bhaskara metoda ali formula bhaskara poudarja, da so korenine enačbe 2. stopnje tipa ax2 + bx + c = 0 je podano z naslednjim razmerjem:
→ Primer
Določite rešitev enačbe x2 - x - 12 = 0.
Upoštevajte, da so koeficienti v enačbi: a = 1; B= - 1 in ç = – 12. Če te vrednosti nadomestimo z Bhaskarovo formulo, imamo:
Delta (Δ) je poimenovana po diskriminatorno in opazite, da je znotraj a kvadratni koren in kot vemo, ob upoštevanju realnih števil ni mogoče izvleči kvadratnega korena negativnega števila.
Če poznamo vrednost diskriminante, lahko podamo nekaj izjav o rešitvi enačbe 2. stopnje:
→ pozitivna diskriminanta (Δ> 0): dve rešitvi enačbe;
→ diskriminanta enaka nič (Δ = 0): rešitve enačbe se ponovijo;
→ negativna diskriminanta (Δ <0): ne priznava resnične rešitve.
Sistemi enačb druge stopnje
Ko hkrati upoštevamo dve ali več enačb, imamo a sistem enačb. Rešitev sistema z dvema spremenljivkama je niz urejenih parov ki hkrati izpolnjuje vse vključene enačbe.
→ Primer
Razmislite o sistemu:
Z vrednostmi: x ’= 2, x’ ’= - 2 in y’ = 2, y ’’ = - 2 lahko sestavimo urejene pare, ki hkrati zadovoljujejo sistemske enačbe. Glej: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Spomnimo se, da je urejen par zapisan v obliki (x, y).
Metode za iskanje rešitve sistema enačb so podobne metodam linearni sistemi.
→ Primer
Razmislite o sistemu:
Iz enačbe x - y = 0 ločimo neznano x, tako:
x - y = 0
x = y
Zdaj moramo izolirano vrednost nadomestiti v drugo enačbo, takole:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Z uporabo metode Bhaskara moramo:
Ker je x = y, bomo imeli x ’= y’ in x ’’ = y ’’. Tj.
x ’= 4
x ’’ = -3
Tako so urejeni pari rešitve sistema (4, 4) in (- 3, - 3).
Preberi več: Sistem enačb 1. in 2. stopnje
Rešene vaje
Vprašanje 1 - (ESPM -SP) Rešitvi spodnje enačbe sta dve številki
a) bratranci.
b) pozitivno.
c) negativno.
d) pari.
e) nenavadno.
Rešitev
Vemo, da imenovalci ulomka ne morejo biti enaki nič, torej x ≠ 1 in x ≠ 3. In ker imamo enako število ulomkov, se lahko navzkrižno pomnožimo in dobimo:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Če delimo obe strani enačbe z 2, imamo:
x2 - 4x - 5 = 0
Iz Bhaskarine formule sledi, da:
Upoštevajte, da so korenine enačbe neparna števila.
Alternativa e.
2. vprašanje - (UFPI) Perutnina je ugotovila, da bi po namestitvi (n +2) ptic v vsako od n razpoložljivih ptičnic ostala le ena ptica. Skupno število ptic za katero koli naravno vrednost n je vedno
a) sodo število.
b) liho število.
c) popoln kvadrat.
d) število, deljivo s 3.
e) praštevilo.
Rešitev
Število ptic lahko najdemo tako, da število ptičnic pomnožimo s številom ptic, nameščenih v vsaki. od njih je po izjavi vaje po tem postopku še vedno ena ptica, vse to lahko zapišemo v nadaljevanju način:
n · (n + 2) +1
Z distribucijo bomo dobili:
št2 + 2n +1
Iz faktoringa tega polinoma sledi, da:
(n + 1)2
Tako je skupno število ptic vedno popoln kvadrat za katero koli naravno število n.
Alternativa C
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
