Razmislite o polinomska enačba spodaj, kjer so vsi koeficienti Theštso cela števila:
Theštxšt +n-1xn-1 +n-2xn-2 +… +2x2 +1x + a0 = 0
O Teorem o racionalnih koreninah zagotavlja, da če ta enačba priznava racionalno število P/kaj kot koren (s P
, kaj 
in mdc (p, q) = 1), potem The0 je deljivo z P in Thešt je deljivo z kaj.
Komentarji:
1º) Izrek o racionalnih koreninah ne zagotavlja, da ima polinomska enačba korenine, če pa obstajajo, nam izrek omogoča prepoznavanje vse korenine enačbe;
2º) če Thešt= 1 drugi koeficienti pa so cela števila, enačba ima le celoštevilčne korenine.
3°) če q = 1 in obstajajo racionalne korenine, to so celota in delitelji The0.
Uporaba teorema o racionalnih koreninah:
Uporabimo izrek, da najdemo vse korenine polinomske enačbe 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Najprej določimo možne racionalne korenine te enačbe, torej korenine oblike P/kaj. V skladu z izrekom The0 je deljivo z P; na ta način, kako The0 = 12, potem možne vrednosti P so {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogno temu moramo
Thešt je deljivo z kaj in Thešt = 2, potem kaj ima lahko naslednje vrednosti: {± 1, ± 2}. Zato delitev vrednosti P na kaj, dobimo možne vrednosti P/kaj korenine enačbe: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Da potrdimo, da so vrednosti, ki smo jih našli, res koren polinomske enačbe, nadomestimo vsako vrednost namesto x enačbe. Skozi algebrski račun, če rezultat polinoma pomeni nič, torej je substituirano število dejansko koren enačbe.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Za x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Za x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Za x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Za x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Za x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Za x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Za x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Za x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Za x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Za x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Za x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Za x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Za x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Za x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Za x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Za x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Zato so korenine polinomske enačbe 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 so {– 3, – 2, ½, 2}. Skozi izrek polinomske razgradnje, lahko bi to enačbo zapisali kot (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Avtorica Amanda Gonçalves
Diplomiral iz matematike
Bi se radi sklicevali na to besedilo v šolskem ali akademskem delu? Poglej:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Teorem o racionalnih koreninah"; Brazilska šola. Na voljo v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Dostopno 28. junija 2021.
