Kaj je kosinusni zakon?

THE kosinusni zakon je trigonometrična relacija uporablja za povezovanje stranic in koti na enem trikotnik katerikoli, torej tisti trikotnik, ki ni nujno, da ima pravi kot. Upoštevajte naslednji trikotnik ABC z označenimi ukrepi:

THE pravoOdkosinusov lahko poda eno od naslednjih izrazi:

The² = b² + c² - 2 · b · c · cosα

B² =² + c² - 2 · a · c · cosβ

ç² = b² +² - 2 · b · a · cosθ

Opazovanje: Teh treh formul si ni treba zapomniti. Samo vedite, da pravoOdkosinusov vedno mogoče zgraditi. V prvem izrazu upoštevajte, da je α kot nasproti strani, katere mera je podana z The. Formulo začnemo s kvadratom na nasprotni strani kota, ki bo uporabljen pri izračunih. To bo enako vsoti kvadratov ostalih dveh stranic, minus dvakratnik zmnožka obeh stranic, ki temu kotu ni nasproti kosinus od α.

Na ta način lahko zgornje tri formule zmanjšamo na:

The² = b² + c² - 2 · b · c · cosα

Dokler vemo, da "" je meritev na nasprotni strani "α" in da sta "b" in "c" meritvi drugih dveh strani trikotnik.

Demonstracija

Glede na trikotnik Kateri koli ABC, z ukrepi, označenimi na naslednji sliki:

Upoštevajmo trikotnika ABD in BCD, ki ju tvorita višina BD trikotnika ABC. Uporabljati Pitagorov izrek v ABD bomo imeli:

ç² = x² + h²

H² = c² - x²

Uporaba istega izreka za trikotnik BCD, imeli bomo:

The² = y² + h²

H² =² - y²

Vedeti, da obstaja² = c² - x², bomo imeli:

ç² - x² =² - y²

ç² - x² + y² =²

The² = c² - x² + y²

Opomba na sliki trikotnik kjer je b = x + y, kjer je y = b - x. Če to vrednost nadomestimo v prej dobljenem rezultatu, bomo imeli:

The² = c² - x² + y²

The² = c² - x² + (b - x)²

The² = c² - x² + b² - 2bx + x²

The² = c² + b² - 2bx

Še vedno gledam sliko, opazite, da:

cosα = x
ç

c · cosα = x

x = c · cosα

Če nadomestimo ta rezultat v prejšnjem izrazu, bomo imeli:

The² = c² + b² - 2bx

The² = c² + b² - 2b · c · cosα

To je natančno prvi od treh zgoraj predstavljenih izrazov. Druga dva lahko dobimo analogno temu.

Primer - Pri trikotnik nato izračunajte mero x.

Rešitev:

Uporabljati pravoOdkosinusov, upoštevajte, da je x meritev stranice, ki je nasprotna kotu 60 °. Zato mora biti prva "številka", ki se prikaže v rešitvi, naslednja:

x² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · cos60 °

x² = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °

x² = 200 - 200 · cos60 °

x² = 200 – 200·1
2

x² = 200 – 100

x² = 100

x = ± √100

x = ± 10

Ker ni negativnih dolžin, mora biti rezultat le pozitivna vrednost, tj. X = 10 cm.

avtor Luiz Moreira
Diplomiral iz matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm