O Pascalov trikotnik to je precej staro matematično orodje. Skozi zgodovino je prejel več imen, danes pa so najbolj sprejeta aritmetični trikotnik in Pascalov trikotnik. Drugo ime je poklon matematiku, ki je večkrat prispeval k proučevanju tega trikotnika. pomeni, da je trikotnik izumil on sam, vendar je bil on tisti, ki je to poglobil orodje.
Iz lastnosti Pascalovega trikotnika ga je mogoče logično sestaviti. Izstopa tudi vaš odnos z kombinacije študiral v kombinatorni analizi. Izrazi Pascalovega trikotnika ustrezajo tudi binomskim koeficientom, zato je zelo koristen za izračun katerega koli Newtonovega binoma.
Preberite tudi: Naprava Briot-Ruffini - metoda za delitev polinoma
Konstrukcija Pascalovega trikotnika
Pascalov trikotnik je rezultat rezultata kombinacij, vendar obstaja praktična metoda, ki olajša način njene gradnje. Prva vrstica in prvi stolpec se štejeta kot nič in stolpec nič. Po potrebi lahko uporabimo toliko vrstic v tej konstrukciji ima lahko torej trikotnik neskončne črte. Razlogi za izdelavo vrstic so vedno enaki. Poglej:
To vemo izrazi trikotnika so kombinacije, študiral v kombinatorna analiza. Za zamenjavo Pascalovega trikotnika s številskimi vrednostmi vemo, da so kombinacije števila z ničlo in števila same s seboj vedno enake 1. Zato sta prva in zadnja vrednost vedno 1.
Da bi našli druge, začnemo z vrstico 2, saj sta vrstici 0 in 1 že zaključeni. V vrstici 2 najdemo kombinacijo 2 do 1 v zgornji vrstici, torej v vrstici 1, dodajte izraz nad njo v isti stolpec in izraz nad njo v prejšnjem stolpcu, kot je prikazano na sliki :
Po gradnji linije 2 je mogoče zgraditi linijo 3, ki izvaja enak postopek.
Če nadaljujemo s tem postopkom, bomo našli vse izraze - v tem primeru do vrstice 5 - vendar je mogoče zgraditi toliko vrstic, kolikor je potrebno.
Lastnosti Pascalovega trikotnika
Nekaj jih je lastnosti Pascalovega trikotnika, zaradi pravilnosti gradnje. Te lastnosti so uporabne za delo s kombinacijami, samo konstrukcijo trikotnih črt in vsoto črt, stolpcev in diagonal.
1. nepremičnina
Prva lastnost je bila tista, ki smo jo uporabili za gradnjo trikotnika. Torej poiščite izraz v Pascalovem trikotniku, samo dodajte izraz, ki je v vrstici nad njim, in isti stolpec z izrazom, ki je v stolpcu in vrstici pred njim. Ta lastnost je lahko predstavljena na naslednji način:
Ta lastnost je znana kot Stifelova zveza pomembno je, da olajšate konstrukcijo trikotnika in poiščete vrednosti vsake črte.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
2. nepremičnina
Vsota vseh izrazov v vrsti se izračuna tako:
sšt=2št, Na čem št je številka vrstice.
Primeri:
S to lastnostjo je mogoče vedeti vsota vseh izrazov v vrstici ne da bi bilo treba graditi Pascalov trikotnik. Vsoto vrstice 10 lahko na primer izračunamo z 210 = 1024. Čeprav niso znani vsi izrazi, je že mogoče poznati vsoto vrednosti celotne vrstice.
3. nepremičnina
Vsota izrazov, ki so zaporedni od začetka danega stolpca P do določene vrstice št je enak izrazu na progi n +1 hrbet in stolpec p +1 kasneje, kot je prikazano spodaj:
4. lastnost
Vsota diagonale, ki se začne v stolpcu 0 in gre do izraza v stolpcu p in vrstici n, je enaka izrazu v istem stolpcu (p), vendar v spodnji vrstici (n + 1), kot je prikazano na sliki :
5. nepremičnina
V linijah Pascalovega trikotnika je simetrija. Prvi in drugi izraz sta enakovredna, drugi in predzadnji člen sta enaka itd.
Primer:
6. vrstica: 1615 20 156 1.
Upoštevajte, da so izrazi enaki dva do dva, razen osrednjega izraza.
Glej tudi: Polinomska delitev: kako jo rešiti?
Newtonov binom
Določimo Newtonov binom a moč enega polinom ki ima dva izraza. Izračun binoma je povezan s Pascalovim trikotnikom, ki postane mehanizem za izračun tega, čemur pravimo binomski koeficienti. Za izračun binoma uporabimo naslednjo formulo:
Upoštevajte, da je eksponentna vrednost The zmanjšuje se, dokler v zadnjem obdobju ni enako The0. Vemo, da je vsako število, zvišano na 0, enako 1, torej izraz The se ne pojavi v zadnjem mandatu. Upoštevajte tudi, da je eksponent B se začne z B0, kmalu B se ne pojavi v prvem obdobju in se povečuje, dokler ne doseže Bšt, v zadnjem mandatu.
Poleg tega je številka, ki spremlja vsak izraz, tisto, kar imenujemo koeficient - v tem primeru znan kot binomski koeficient. Če želite bolje razumeti, kako rešiti to vrsto binoma, odprite naše besedilo: Newtonov binom.
binomni koeficient
Binomski koeficient ni nič drugega kot kombinacija, ki jo lahko izračunamo s formulo:
Vendar pa je za lažji izračun Newtonovega binoma nujno uporabiti Pascalov trikotnik, saj nam hitreje daje rezultat kombinacije.
Primer:
Da najdemo rezultat binomskega koeficienta, poiščimo vrednosti vrstice 5 Pascalovega trikotnika, ki so {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1 leto5
Enostavno povedano:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
rešene vaje
Vprašanje 1 - Vrednost spodnjega izraza je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Resolucija
Alternativa A.
Če prerazporedimo pozitivne in negativne vrednosti, moramo:
Upoštevajte, da dejansko izračunavamo odštevanje med vrstico 4 in vrstico 3 Pascalovega trikotnika. Po lastnostih vemo, da:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Vprašanje 2 - Kakšna je vrednost spodnjega izraza?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Resolucija
Alternativa B.
Upoštevajte, da dodajamo izraze iz stolpca 1 Pascalovega trikotnika v 7. vrstico in nato v 3. vrednost te vsote enaka izrazu, ki zaseda vrstico 7 + 1 in stolpec 1 + 1, to je vrstico 8, stolpec 2. Ker želimo samo eno vrednost, konstrukcija celotnega Pascalovega trikotnika ni primerna.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
