O Vennov diagram, znan tudi kot Venn-Eulerjev diagram, je a način grafičnega prikaza množice, za to uporabljamo zaprto črto, ki nima samosečišča in predstavljamo elemente množice znotraj te črte. Ideja diagrama je olajšati razumevanje v osnovni niz operacij, kot so: razmerje vključenosti in pripadnosti, zveza in presečišče, razlika in komplementarni niz.
Preberite tudi vi: Operacije med celimi števili: poznavanje lastnosti
Predstavitve Vennovega diagrama
Kot je prikazano, je Vennov diagram sestavljen iz zaprte (ne prepletene) črte, na katero "postavimo" elemente zadevnega niza, tako da lahko predstavljajo enega ali več sklopov hkrati. Oglejte si primere:
• Enojni komplet
Lahko vas zastopamo z uporabo ena sama zaprta črtana primer predstavimo niz A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Med dvema nizoma
Narediti moramo dva grafa, kot je grafikon za predstavitev posameznega niza. Vendar iz operacij z množicami vemo, da: glede na dva niza se lahko sekata ali pa tudi ne. Če se množici ne sekata, sta poimenovana disjontni nizi.
Primer 1
Načrtujte z uporabo Vennovega diagrama množice A = {a, b, c, d, e, f} in B = {d, e f, g, h, i}.
Upoštevajte, da je presečišče del diagrama, ki pripada obema nizoma, tako kot v definiciji.
A ∩ B = {d, e, f}
2. primer
Narišite sklope C = {a, b, c, d} in D = {e, f, g, h}.
Upoštevajte, da je presečišče teh nizov prazno, saj nima nobenega elementa, ki bi hkrati pripadal obema, to je:
C ∩ D = {}
• Med tremi nizi
Ideja za predstavitev z uporabo Vennovega diagrama za tri nize je podobna predstavitvi med dvema nizoma. V tem smislu lahko množice ločijo eno za drugo, to pomeni, da nimajo nobenega presečišča; ali pa sta lahko dve za dve nerazdruženi, to pomeni, da se sekata samo dve; ali se vsi sekajo.
Primer
Predstavljanje nizov A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} in C = {d, e, c, h} z uporabo Vennovega diagrama.
Glej tudi: Pomembni napisi
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
člansko razmerje
Člansko razmerje nam omogoča, da povemo, ali element pripada določenemu naboru ali ne. Za to uporabljamo simbole:
Razmislite o množici A = {a, b, c, d}. Ko to analiziramo, se zavedamo gmu na primer ne pripada, zato imamo v Vennovem diagramu:
Vključeno razmerje
Razmerje vključenosti nam omogoča, da rečemo ali je niz v drugem nizu. Ko je niz v drugem, rečemo, da je podnabor. Za to uporabljamo simbole:
Primer tega je razmerje med množico naravna števila in nabor cela števila. Vemo, da je množica naravnih števil podmnožica množice celih števil, to je nabor naravnih je vsebovan v naboru celih števil.
Operacije med nizi
Osnovne operacije med dvema ali več sklopi so: enotnost, križišče in razlika med dvema nizoma.
• Zveza
Zveza med dvema nizoma nastane s povezovanjem elementov, ki jih vsebuje vsak niz, z drugimi besedami: upoštevajo se vsi elementi obeh nizov. Poglej:
Upoštevajmo množice A = {1, 2, 3, 4} in B = {3, 4, 5, 6, 7}. Združitev med njimi daje:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
V Vennovem diagramu smo zasenčili zvezni del, torej oba niza, preverimo:
• križišče
Presečišče je nova številčna množica, ki jo tvorijo elementi, ki hkrati pripadajo drugim množicam. Na splošno je presečišče med množicami v Vennovem diagramu podano s skupnim delom grafov. Poglej:
Če ponovno upoštevamo množice A = {1, 2, 3, 4} in B = {3, 4, 5, 6, 7}, imamo, da so elementi, ki hkrati pripadajo množici A in B :
A ∩ B = {3,4}
• Razlika med dvema nizoma
Razmislite o dveh sklopih C in D, razlika med njima (C - D) bo nova množica, ki jo tvorijo elementi, ki pripadajo C in ne pripadajo D. Na splošno lahko to razliko predstavimo z uporabo Vennovega diagrama na naslednji način:
rešene vaje
Vprašanje 1 - (Ufal) Na naslednji sliki so predstavljeni nerazdruženi nizi A, B in C. Barvno območje predstavlja nabor:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Rešitev
Alternativa b.
Če se spomnimo operacij z množicami, vemo, da presečišče med dvema nizoma v Vennovem diagramu poda njihov skupni del. Glede na množice A, B in C in obarvanje presečišča množic A ∩ B imamo:
Naslov: Vprašanje rešitve1 - 1. del
Upoštevajte, da če odstranimo elemente iz niza C, dobimo barvni del, ki ga zahteva vaja, to pomeni, da moramo najprej poudariti križišče in nato elemente odstraniti iz C.
(A ∩ B) - C
2. vprašanje - (Uerj) Otroci v šoli so sodelovali v kampanji cepljenja proti otroški paralizi in ošpicam. Po akciji je bilo ugotovljeno, da je 80% otrok prejelo cepivo za ohromitev, 90% cepivo proti ošpicam, 5% pa nobenega.
Določite odstotek otrok v tej šoli, ki so prejeli obe cepivi.
Rešitev
Ker odstotek otrok, ki so prejeli obe cepivi, ni znan, ga sprva imenujmo x. Ne pozabite, da ne smemo operirati s simbolom%, ampak odstotke vaje zapišite v decimalni ali delni obliki.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Da bi ugotovili skupno število otrok, ki so vzeli samo cepivo za ohromitev, smo odšteli preverjeni odstotek (80%) odstotka tistih, ki so vzeli oboje (x), enako je treba storiti za otroke, ki so cepivo vzeli samo proti ošpice. Tako:
Če se pridružite vsem otrokom, bo odstotek 100%, zato:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Zato je imelo 75% otrok v šoli obe cepivi.
Avtor L.do Robson Luiz
Učitelj matematike
