Ko preučujemo poliedre, naletimo na Platonove trdne snovi kot poseben primer. Da bi bil polieder Platonov trdni material, mora izpolnjevati tri pogoje:
biti izbočen;
vsi obrazi imajo enako količino robov;
vsi točki so konci istega števila robov.
Več filozofov je skušalo razumeti izvor Vesolja in Platon je to videl prostorska geometrija razlago tega izvora. Trdne snovi Platona so:
tetraeder;
heksaeder;
oktaeder;
dodekaeder;
ikosaedra.
Vsi se štejejo za pravilne poligone robovi in njihovi obrazi so skladni. Platonove trdne snovi spoštujejo Eulerjeva zveza, ki navaja število oglišč, ploskev in robov po formuli V + F = A + 2.
Preberite tudi: Kakšne so razlike med ravnimi in prostorskimi figurami?
pravilni poliedri
Iskanje običajnih poliedrov se ponavlja, saj je z njimi lažje delati. Polieder je razvrščen kot pravilen, če je ima vse obraze, ki jih tvori isti mnogokotnik skladen. Ko se to zgodi, koti in robovi so tudi skladni.
Platonove trdne snovi so posebni primeri pravilnih poliedrov. Na primer kocka, ki je Platonova trdna snov, ima vse obraze oblikovane iz skladnih kvadratov.
Od Platonovih petih trdnih snovi, tri tvorijo trikotne ploskve s skladnimi trikotniki, eno tvorijo kvadratne ploskve, drugo pa peterokotne ploskve.Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Kaj so Platonove trdne snovi?
Platon je bil grški filozof in matematik. Veliko je prispeval k matematiki in pri poskusu razumevanja vesolja povezane trdne snovi z elementi narave.
Če želite biti platonska trdna snov, mora biti polieder pravilna in konveksna. Tej definiciji ustreza le pet trdnih snovi. To so: tetraeder, kocka ali heksaeder, oktaeder, ikosaeder in dodekaeder.
Razmerje med elementom narave in trdnim telesom je bilo:
tetraeder - ogenj
heksaeder - Zemlja
oktaeder - zrak
ikosaedra - Voda
dodekaeder - Cosmo ali Vesolje
Če želite biti Platonov trden, O polieder prav tako mora biti konveksna, vsi obrazi morajo imeti enako število robov, vsi točki pa morajo biti konci istega števila robov.
Glej tudi: Tlakovci - geometrijske trdne snovi, ki jih tvorijo ravne in poligonalne ploskve
pravilni tetraeder
Pravilni tetraeder je polieder, ki ima 4 obraze, kar upravičuje njegovo ime (tetra = štiri). vsi vaši obrazi so tvorijo trikotniki. Oblika je kot piramida trikotne osnove in je znana kot piramida pravilne osnove, saj so vsi njeni obrazi skladni. Ima skupno 4 obraze (v obliki enakostranični trikotnik), 4 oglišča in 6 robov.
Če želite zgraditi svoj običajni tetraeder, preprosto prenesite in natisnite PDF tukaj.
Navadna kocka ali heksaeder
pravilni heksaeder ima 6 obrazi, kar upravičuje njegovo ime (hex = šest). tvoji obrazi so vsi kvadrat. Znana je tudi kot kocka in ima 6 ploskev, 12 robov in 8 oglišč.
Če želite zgraditi svojo kocko, preprosto prenesite in natisnite PDF tukaj.
Oktaeder
Tako kot prejšnji je tudi ime povezano s številom obrazov, torej z oktaedrom ima 8 obrazov. Ti obrazi so enakostranična oblika trikotnika. Oktaeder ima 8 ploskev, 12 robov in 6 oglišč.
Če želite zgraditi svoj oktaeder, preprosto prenesite in natisnite PDF tukaj.
ikosaedra
Ikosaeder ima skupaj 20 obrazov. Njihovi obrazi so v obliki enakostraničnih trikotnikov, tako kot oktaeder. Ima skupno 20 obrazov, 30 robov in 12 oglišč.
Če želite zgraditi svoj ikozaeder, preprosto prenesite in natisnite PDF tukaj.
Dodekaeder
Dodekaeder je zadnja Platonova trdna snov. Skupno ima 12 obrazov in se šteje za bolj harmonično med petimi platonskimi trdnimi snovmi. Njihovi obrazi imajo obliko peterokotnikov. Ima 12 obrazov, 30 robov in 20 oglišč.
Če želite zgraditi svoj dodekaeder, preprosto prenesite in natisnite PDF tukaj.
Dostop tudi: Valj - geometrijska trdna snov, ki jo tvorita dve vzporedni krožni ploskvi in v različnih ravninah
Eulerjeva formula
Eulerovi poliedri so konveksni poliedri. Euler je razvil formulo, ki povezuje število ploskev (F), število oglišč (V) in število robov (A) v konveksnem poliedru. Vse trdne snovi Platona ustrezajo Eulerjevi relaciji.
V + F = A + 2 |
Analiza formule, potem je mogoče izračunati število oglišč iz števila ploskev in robov ali število ploskev iz števila oglišč in robov, skratka, poznavanje dveh njegovih elementov, je vedno mogoče najti tretjega.
Primer:
Če vemo, da ima polieder 8 oglišč in 12 robov in da je pravilen, koliko obrazov ima?
Vemo, da je V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
rešene vaje
Vprašanje 1 - (Enem 2016) Platonove trdne snovi so konveksni poliedri, katerih obrazi so vsi skladni z enim mnogokotnikom pravilni, imajo vsi točki enako število vpadnih robov in vsak rob si delita samo dva. obrazi. Pomembni so na primer pri razvrščanju oblik mineralnih kristalov in pri razvoju različnih predmetov. Tako kot vsi konveksni poliedri tudi Platonove trdne snovi spoštujejo Eulerjevo razmerje V - A + F = 2, kjer so V, A in F število oglišč, robov in ploskev poliedra.
Kakšno je razmerje med številom oglišč in številom površin v kristalu, katerega oblika je Platonov polieder s trikotno obličjem?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Resolucija
Alternativa C. Ker so obrazi trikotni, vemo, da obstajajo za vsako stran 3 robovi. Če želite povezati število robov s številom obrazov, je pomembno vedeti, da je vsak rob vsebovan na dveh obrazih, ker srečanje dveh obrazov tvori rob, zato lahko v tem primeru povežemo rob z obrazom na:
Če imamo Eulerjevo relacijo kot V - A + F = 2 in nadomestimo A, moramo:
Vprašanje 2 - Iz spodnjih možnosti presodite, katera ni Platonova trdnost.
A) Kocka
B) Redni tetraeder
C) Ikozaeder
D) Dodekaeder
E) Stožec
Resolucija:
Alternativa E. Od alternativ edini, ki ne ustreza Platonovemu trdnemu materialu, je stožec.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
