Ena polinomska enačba je značilno, da ima a polinom enako nič. Lahko ga označimo s stopnjo polinoma in večja kot je ta stopnja, večja je težava pri iskanju njene rešitve ali korena.
V tem kontekstu je tudi pomembno razumeti, kaj je temeljni izrek algebre, ki to trdi Vsaka polinomska enačba ima vsaj eno kompleksno rešitev, z drugimi besedami: enačba stopnje ena bo imela vsaj eno rešitev, enačba stopnje dve bo imela vsaj dve rešitvi itd.
Preberite tudi vi: Kateri so razredi polinoma?
Kaj je polinomska enačba
Za polinomsko enačbo je značilno, da ima polinom enak nič, zato je vsak izraz vrste P (x) = 0 je polinomska enačba, kjer je P (x) polinom. Spodaj glej splošni primer polinomske enačbe in nekaj primerov.
Razmislite ošt, an -1, a n -2,..., The1, a0 in x realna številain n je pozitivno celo število, naslednji izraz je polinomska enačba stopnje n.
- Primer
Naslednje enačbe so polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Tako kot polinomi imajo tudi polinomske enačbe svojo stopnjo. Če želite določiti stopnjo polinomske enačbe, poiščite največjo moč, katere koeficient se razlikuje od nič. Zato so enačbe prejšnjih postavk:
a) Enačba je iz četrta stopnja:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Enačba je iz Srednja šola:5x2 – 3 = 0.
c) Enačba je iz prva stopnja:6x – 1 = 0.
d) Enačba je iz tretja stopnja: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Kako rešiti polinomsko enačbo?
Način reševanja polinomske enačbe je odvisen od njene stopnje. Večja kot je stopnja enačbe, težje jo je rešiti. V tem članku bomo prikazali metodo reševanja polinomskih enačb prva stopnja, druga stopnja in bisquare.
Polinomska enačba prve stopnje
Polinomsko enačbo prve stopnje opisuje a polinom 1. stopnje. Tako lahko enačbo prve stopnje na splošno napišemo takole.
Upoštevajmo dve realni številki The in B z ≠ 0 je naslednji izraz polinomska enačba prve stopnje:
ax + b = 0
Za rešitev te enačbe moramo uporabiti načelo enakovrednosti, torej vse, kar deluje na eni strani enakosti, mora delovati tudi na drugi strani. Za določitev rešitve enačbe prve stopnje moramo izolirati neznano. Za to je prvi korak odprava B na levi strani enakosti in nato odštejemovesla b na obeh straneh enakosti.
sekira + b - B = 0 - B
sekira = - b
Upoštevajte, da vrednost neznanega x ni osamljena, koeficient a je treba odstraniti z leve strani enakosti, zato delimo obe strani z The.
- Primer
Rešite enačbo 5x + 25 = 0.
Da bi rešili težavo, moramo uporabiti načelo enakovrednosti. Da bi olajšali postopek, bomo izpustili pisanje operacije na levi strani enakosti enakovredno temu, da rečemo, da bomo številko "prenesli" na drugo stran in spremenili znak (obratno delovanje).
Preberite več o reševanju te vrste enačbe z dostopom do našega besedila: Enačba prve stopnje z neznano.
Polinomska enačba druge stopnje
Polinomska enačba druge stopnje ima značilnost a polinom druge stopnje. Torej, upoštevajte a, b in c realna števila z ≠ 0. Enačba druge stopnje je podana z:
sekira2 + bx + c = 0
Svojo rešitev lahko določite po metodi bhaskara ali s faktoringom. Če želite izvedeti več o enačbah te vrste, preberite: Enačbaukrepanje sdrugič grau.
→ Bhaskara metoda
Z uporabo metode Bhaskare so njene korenine podane z naslednjo formulo:
- Primer
Določite rešitev enačbe x2 - 3x + 2 = 0.
Upoštevajte, da so koeficienti enačbe a = 1, b = - 3 in c = 2. Če nadomestimo te vrednosti v formuli, moramo:
→ Faktorizacija
Upoštevajte, da je mogoče izraz x izračunati na faktor2 - 3x + 2 = 0 z uporabo ideje polinomska faktorizacija.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Zdaj opazite, da imamo izdelek enak nič, izdelek pa je enak nič, če je eden od dejavnikov enak nič, zato moramo:
x - 2 = 0
x = 2
ali
x - 1 = 0
x = 1
Glejte, da smo rešitev enačbe našli z dvema različnima metodama.
enačba bi-kvadrat
THE enačba Bisquare je poseben primer polinomske enačbe četrte stopnje, običajno bi bila enačba četrte stopnje zapisana v obliki:
sekira4 + bx3 + škatla2 + dx + e = 0
kjer so številke a B C D in in so realne z ≠ 0. Enačba četrte stopnje se šteje za kvadratno, ko so koeficienti b = d = 0, to je enačba v obliki:
sekira4 + škatla2 + in = 0
V spodnjem primeru glejte, kako rešiti to enačbo.
- Primer
Reši x enačbo4 - 10x2 + 9 = 0.
Za rešitev enačbe bomo uporabili naslednjo neznano spremembo in kadar koli bo enačba biskvadra, bomo to spremembo izvedli.
x2 = p
Iz enačbe bi-kvadrat upoštevajte, da je x4 = (x2)2 in zato moramo:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Glejte, da imamo zdaj polinomsko enačbo druge stopnje in lahko uporabimo Bhaskarovo metodo, kot je ta:
Vendar se moramo zavedati, da je bila na začetku vaje izvedena neznana sprememba, zato moramo uporabiti vrednost, ki jo najdemo v zamenjavi.
x2 = p
Za p = 9 moramo:
x2 = 9
x ’= 3
ali
x ’’ = - 3
Za p = 1
x2 = 1
x ’= 1
ali
x ’’ = - 1
Zato je nabor rešitev enačbe Bisquare:
S = {3, –3, 1, –1}
Preberite tudi: Briot-Ruffinijeva praktična naprava - delitev polinoma
Temeljni izrek algebre (TFA)
Temeljni izrek algebre (TFA), ki ga je leta 1799 dokazal Gauss, navaja, da ima vsaka polinomska enačba vsaj en kompleksen koren.
Koren polinomske enačbe je njena rešitev, to pomeni, da neznana vrednost tvori enakost. Na primer, enačba prve stopnje ima že določen koren, enako velja tudi za enačbo druge stopnje, ki ima vsaj dve korenini, in bisquare, ki ima vsaj štiri korenine.
rešene vaje
Vprašanje 1 - Določite vrednost x, zaradi katere je enakovrednost resnična.
2x - 8 = 3x + 7
Resolucija
Upoštevajte, da je za reševanje enačbe potrebno organizirati, to je pustiti vse neznanke na levi strani enakosti.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Po načelu enakovrednosti lahko obe strani enakosti pomnožimo z enakim številom, in ker želimo ugotoviti vrednost x, bomo pomnožili obe strani z –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
2. vprašanje - Marcos ima 20 dolarjev več kot João. Skupaj jim uspe kupiti dva para superg, ki staneta 80 R $ za vsak par in brez denarja. Koliko realov ima Janez?
Resolucija
Upoštevajte, da ima Mark x realov, saj ima Janez 20 realov več, torej ima x + 20.
Oznake → x realov
João → (x + 20) reais
kako so kupili dva para superg ki stanejo 80 realov, tako da, če sestavimo dele vsakega, bomo morali:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Zato je imel Mark 70 realov, João pa 90 realov.
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
