Все существующие числа были созданы в соответствии с человеческими потребностями на момент создания, как и в случае с натуральными числами, которые были созданы для подсчета и контроля «запасов» и иррациональных чисел, которые были созданы для решения проблем, связанных с корнеплоды. Именно проблемы, связанные с корнями, положили начало знанию о комплексные числа.
Квадратное уравнение x2 + 4x + 5 = 0 не имеет реальных корней. Это означает, что в наборе действительных чисел невозможно найти значения x, которые равны первому члену этого уравнения второму. Мы наблюдаем это явление с самого начала формулы Бхаскары:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Как только для Δ найдено отрицательное значение, становится невозможным продолжить работу по формуле Бхаскары, поскольку для этого требуется вычислить √Δ (корень из дельты). Теперь мы знаем, что √– 4 не может быть вычислено, потому что не существует действительного числа, умножение которого само на себя дало бы - 4.
Комплексные числа были созданы для удовлетворения этих потребностей. С момента своего создания √– 4 можно развить следующим образом:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
√ (- 1) понимается как новый тип числа. Набор всех этих чисел известен как набор комплексных чисел, и каждый представитель этого нового набора определяется следующим образом: Пусть A будет комплексным числом, тогда,
А = В + Bя, где Ва также B являются действительными числами и i = √ (- 1)
В этом определении В Он известен как реальная часть A а также B Он известен как мнимая часть А.
Свойства комплексных чисел
Действительные числа полностью и геометрически представляют собой линию. Комплексные числа, в свою очередь, представляют собой целую плоскость. Декартова плоскость, используемая для представления комплексных чисел, известна как плоскость Аргана-Гаусса.
Каждое комплексное число может быть представлено на плоскости Аргана-Гаусса как точка с координатами (a, b). Расстояние от точки, представляющей комплексное число, до точки (0,0) называется модулем комплексного числа., который определяется:
Пусть A = a + bi - комплексное число, его модуль равен | A | = а2 + b2
У комплексных чисел также есть обратный элемент, называемый сопряженным. Это определяется как:
Пусть A = a + bi - комплексное число,
Ā = a - bi - сопряжение этого числа.
Свойство 1: Произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно сумме квадратов действительной части и мнимой части комплексного числа. Математически:
AĀ = a2 + b2
Пример: каково произведение A = 2 + 5i на его сопряженное?
Просто сделайте расчет:2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Если бы мы решили написать сопряжение A и после этого выполнить умножение AĀ, у нас было бы:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
То есть, используя предложенное свойство, можно избежать долгих расчетов, а также ошибок при этих расчетах.
Свойство 2: Если комплексное число A равно своему сопряженному, то A - действительное число.
Пусть A = a + bi. Если A = Ā, то:
а + би = а - би
би = - би
б = - б
Следовательно, b = 0
Следовательно, обязательно, чтобы каждое комплексное число, равное его сопряженному, также было действительным числом.
Свойство 3: Сопряжение суммы двух комплексных чисел равно сумме сопряженных этих чисел., это:
_____ _ _
А + В = А + В
Пример: что является конъюгатом суммы 7 + 9i и 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Вы можете сначала сложить, а затем вычислить конъюгат результата, или сначала выполнить конъюгирование, а затем добавить результаты позже.
Свойство 4: Сопряжение произведения двух комплексных чисел равно произведению их сопряженных чисел, то есть:
__ _ _
AB = A · B
Пример: Каково произведение конъюгатов A = 7i + 10 и B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
В зависимости от потребности в упражнении можно сначала умножить, а потом вычислить конъюгат, или отобразить конъюгаты перед выполнением умножения.
Свойство 5: Произведение комплексного числа A и его сопряженного равно квадрату модуля A, то есть:
AĀ = | A |2
Пример: A = 2 + 6i, тогда AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Обратите внимание, что нет необходимости находить сопряжение и выполнять умножение с помощью распределительного свойства умножения над сложением (известного как маленькая насадка для душа).
Свойство 6: Модуль комплексного числа равен модулю сопряженного с ним. Другими словами:
| A | = | Ā |
Пример: Найдите модуль сопряженного комплексного числа A = 3 + 4i.
Обратите внимание, что сопряжение искать не обязательно, так как модули одинаковые.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Если бы были рассчитаны | Ā |, единственным изменением было бы B отрицательный квадрат, что дает положительный результат. Таким образом, результат все равно будет корнем 25.
Свойство 7: Если A и B - комплексные числа, то произведение модулей A и B равно модулю произведения A и B., то есть:
| AB | = | A || B |
Пример: Пусть A = 6 + 8i и B = 4 + 3i, сколько | AB |?
Обратите внимание, что перед вычислением модуля нет необходимости умножать комплексные числа. Можно вычислить модуль каждого комплексного числа отдельно, а затем просто умножить результаты.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Луис Пауло Морейра
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
