Тригонометрические уравнения - это равенства, в которых участвуют тригонометрические функции неизвестных дуг. Решение этих уравнений - уникальный процесс, в котором используются методы сведения к более простым уравнениям. Давайте рассмотрим концепции и определения уравнений в виде cosx = a.
Тригонометрические уравнения вида cosx = α имеют решения в интервале –1 ≤ x ≤ 1. Определение значений x, которые удовлетворяют этому типу уравнения, будет подчиняться следующему свойству: Если две дуги имеют равные косинусы, то они равны или дополняют друг друга..
Пусть x = α - решение уравнения cos x = α. Другие возможные решения - дуги, конгруэнтные дуге α или дуге - α (или дуге 2π - α). Итак: cos x = cos α. Обратите внимание на представление в тригонометрическом цикле:
Мы пришли к выводу, что:
x = α + 2kπ, при k Є Z или x = - α + 2kπ, при k Є Z
Пример 1
Решите уравнение: cos x = √2 / 2.
Из таблицы тригонометрических соотношений √2 / 2 соответствует углу 45º. Потом:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Таким образом, уравнение cosx = √2 / 2 имеет в качестве решения все дуги, конгруэнтные дуге π / 4, –π / 4 или даже 2π - π / 4 = 7π / 4. Обратите внимание на иллюстрацию:
Мы заключаем, что возможные решения уравнения cos x = √2 / 2 следующие:
x = π / 4 + 2kπ, при k Є Z или x = - π / 4 + 2kπ, при k Є Z
Пример 2
Решите уравнение: cos 3x = cos x
Когда дуги 3x и x совпадают:
3х = х + 2kπ
3х - х = 2kπ
2x = 2kπ
х = kπ
Когда дуги 3x и x дополняют друг друга:
3x = –x + 2kπ
3х + х = 2kπ
4x = 2kπ
х = 2kπ / 4
х = kπ / 2
Решение уравнения cos 3x = cos x есть {x Є R / x = kπ или x = kπ / 2, где k Є Z}.
Марк Ноа
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm