В отличие от образованных им геометрических фигур, Счет не имеет определения. Это означает, что в геометрии точка - это неопределенный объект, используемый для определения других объектов. Например, линии - это наборы точек. Хотя они выглядят хорошо очерченными, линии также не имеют определения, так как любой набор, содержащий две или более точек, считается прямым.
С другой стороны, в аналитической геометрии точка берется за местоположение. Любое местоположение может быть представлено точкой, и, кроме того, «адрес» этой точки задается с помощью координат.
Однако в аналитической геометрии точки могут указывать только местоположения. Другие объекты необходимы для обозначения траектории, направления, направления и интенсивности. В случае последних трех объектов, выбранных для представления их на декартовой плоскости, является вектор.
→ Что такое вектор?
Векторы, следовательно, являются объектами, указывающими направление, смысл и интенсивность. Обычно они представлены стрелками, которые начинаются от начала координат, и используются координаты их последней точки.
На изображении выше векторы представлены таким образом, то есть стрелками, координаты которых соответствуют их конечной точке. Вектор u имеет координаты (2,2), а вектор v имеет координаты (4,2). Кроме того, стрелка используется для обозначения направления и направления, а ее размер указывает на интенсивность.
→ Умножение вектора на число
Учитывая вектор v = (a, b), произведение действительного числа k на v задается выражением:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Другими словами, чтобы умножить действительное число на вектор, вы должны умножить действительное число на каждую из его координат.
Геометрически умножение вектора на действительное число увеличивает размер вектора линейно:
Обратите внимание, что в приведенном выше примере вектор u имеет координаты (2.2), а вектор u · k имеет координаты (4.4). Решая уравнение (4.4) = k (2.2), можно сделать вывод, что k = 2.
→ Добавление векторов
Учитывая два вектора u = (a, b) и v = (c, d), сумма между ними будет получена с помощью выражения:
и + v = (а + с, б + г)
Другими словами, просто сложите соответствующие координаты каждого вектора. Эта операция может быть расширена до суммы 3 или более векторов с 3 или более измерениями.
Геометрически, начиная с конца вектора u, вектор v 'проводится параллельно вектору v. Начиная с вектора v, параллельно вектору u проводится вектор u '. Эти четыре вектора образуют параллелограмм. Вектор u + v является следующей диагональю этого параллелограмма:
Чтобы вычесть векторы, рассматривайте вычитание как сумму одного вектора и противоположности другого. Например, чтобы вычесть вектор v из вектора u, напишите: u - v = u + (-v). Вектор -v - это вектор v, но с обратными знаками координат.
Если присмотреться, то операции «умножение вектора на число» и «сложение векторов» использовать операции умножения и сложения над действительными числами, но для каждого компонента вектор. Следовательно, для векторов действуют все свойства сложения и умножения действительных чисел, а именно:
Учитывая векторы u, v и w и действительные числа k и l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) существует вектор 0 = (0.0) такой, что v + 0 = v
iv) Существует вектор -v такой, что v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Эталон вектора
Норма вектора эквивалентна величине действительного числа, то есть расстоянию между вектором и точкой (0,0) или, в зависимости от системы отсчета, длине вектора.
Норма вектора v = (a, b) обозначается || v || и может быть рассчитан с использованием выражения:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Внутренний продукт
Внутренний продукт сравним с продуктом между векторами. Обратите внимание, что упомянутый выше продукт является произведением между вектором и действительным числом. Теперь рассматриваемый «продукт» находится между двумя векторами. Однако следует говорить не «произведение двух векторов», а скорее «внутреннее произведение двух векторов». Внутреннее произведение между векторами v = (a, b) и u = (c, d) обозначается через
Также принято использовать следующие обозначения:
Обратите внимание, что, используя норму вектора v = (a, b), мы можем связать норму и скалярное произведение.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Луис Пауло Морейра
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm