Матрица: что это такое, виды, операции, примеры

В штаб-квартира он обычно используется для организации табличных данных, чтобы облегчить поиск и устранение неисправностей. Матричная информация, числовая или нет, аккуратно организована в строки и столбцы.

Набор матриц, снабженный операциями добавление, вычитание а также умножение и особенности, как нейтральный и обратный элемент, образуют математическую структуру, которая позволяет применять его в различных сферах этой обширной области знаний.

Смотри тоже: Связь матричной и линейной систем

Матричное представление

Прежде чем приступить к изучению матриц, необходимо установить некоторые обозначения относительно их представления. В матрицы всегда обозначаются заглавными буквами. (A, B, C…), которые сопровождаются индексами, в которых первое число указывает количество строк, а второе - количество столбцов.

В количество строк (горизонтальные ряды) и столбцы (вертикальные строки) матрицы определяет ее заказывать. Матрица A имеет порядок m на n. Информация, содержащаяся в массиве, называется элементы и заключены в круглые скобки, квадратные скобки или две вертикальные полосы, см. примеры:

Матрица A имеет две строки и три столбца, поэтому ее порядок - два на три → A_2x3.

Матрица B состоит из одной строки и четырех столбцов, поэтому ее порядок - один на четыре, поэтому она называется линейная матрица → B_1x4.

Матрица C состоит из трех строк и одного столбца, поэтому она называется матрица столбцов и его порядок - три по одному → C_3x1.

Мы можем обобщенно представить элементы массива, то есть мы можем записать этот элемент, используя математическое представление. Ообщий элемент будет представлен строчными буквами (a, b, c…), и, как и в представлении массивов, он также имеет индекс, указывающий его местоположение. Первое число указывает строку, в которой находится элемент, а второе число указывает столбец, в котором он расположен.

Рассмотрим следующую матрицу A, перечислим ее элементы.

Наблюдая за первым элементом, который находится в первой строке и первом столбце, то есть в первой строке и первом столбце, мы получаем число 4. Для облегчения написания мы обозначим его следующим образом:

В₁₁ → первая строка, первая колонка

Итак, у нас есть следующие элементы матрицы A_2x3:

В₁₁ = 4

В₁₂ =16

В₁₃ = 25

В₂₁ = 81

В₂₂ = 100

В₂₃ = 9

В общем, мы можем записать массив как функцию его общих элементов, это общая матрица.

Матрица из m строк и n столбцов представлена ​​следующим образом:

• Пример

Определить матрицу A = [a_ij ]_2х2, который имеет следующий закон о тренировках_ij = j² - 2i. Из данных оператора мы видим, что матрица A имеет порядок два на два, то есть имеет две строки и два столбца, поэтому:

Кроме того, был задан закон образования матрицы, то есть каждый элемент удовлетворяется соотношением_ij = j² - 2i. Подставляя значения i и j в формулу, имеем:

В₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

В₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

В₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

В₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Следовательно, матрица A:

Типы массивов

Некоторые матрицы заслуживают особого внимания, см. Теперь эти типы массивов с примерами.

• квадратная матрица

Матрица является квадратной, когда количество строк равно количеству столбцов. Мы представляем матрицу, содержащую n строк и n столбцов, как A_нет (читай: квадратная матрица порядка n).

В квадратных матрицах есть два очень важных элемента: диагонали: основные и второстепенные. Главная диагональ образована элементами, имеющими одинаковые индексы, то есть каждый элемент является_ij с i = j. Вторичная диагональ образована элементами a_ij с i + j = n +1, где n - порядок матрицы.

• единичная матрица

Единичная матрица - это квадратная матрица, которая имеет всетыэлементы главной диагонали равны 1 и остальные элементы равны 0, закон его образования:

Обозначим эту матрицу I, где n - порядок квадратной матрицы, см. Несколько примеров:

• единичная матрица

Это квадратная матрица первого порядка, то есть она имеет строку и столбец и, следовательно, всего один элемент.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 и C = || 5 ||_1x1

Это примеры единичных матриц с упором на матрицу B, которая является единичная единичная матрица.

• нулевая матрица

Массив называется нулевым, если все его элементы равны нулю. Представим нулевую матрицу порядка m на n через O_mxn.

Матрица O нулевая порядка 4.

• противоположная матрица

Рассмотрим две матрицы равного порядка: A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn. Эти матрицы будем называть противоположными тогда и только тогда, когда_ij = -b_ij. Таким образом, соответствующие элементы должны быть противоположные числа.

Мы можем представить матрицу B = -A.

• транспонированная матрица

Две матрицы A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_nxm они есть транспонированный если и только если_ij = b_джи , то есть для данной матрицы A, чтобы найти ее транспонирование, просто возьмите строки как столбцы.

Транспонирование матрицы A обозначается A^Т. См. Пример:

Узнать больше: Обратная матрица: что это такое и как проверить

Матричные операции

Общее представление матрицы размера n x m.

Набор матриц имеет операцииочень хорошо определенное сложение и умножение, то есть всякий раз, когда мы работаем с двумя или более матрицами, результат операции по-прежнему принадлежит набору матриц. Однако как насчет операции вычитания? Мы понимаем эту операцию как операцию, обратную сложению (противоположная матрица), которая также очень хорошо определена.

Прежде чем определять операции, давайте разберемся с идеями соответствующий элемент а также равенство матриц. Соответствующие элементы - это те, которые занимают одну и ту же позицию в разных матрицах, то есть они расположены в одной строке и столбце. Очевидно, что для существования совпадающих элементов массивы должны быть одного порядка. Посмотрите:

Элементы 14 и -14 являются соответствующими элементами противоположных матриц A и B, поскольку они занимают одну и ту же позицию (ту же строку и столбец).

Две матрицы будут называться равными тогда и только тогда, когда соответствующие элементы равны. Таким образом, для матриц A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn, они будут такими же, если и только если_ij = b_ij для любого i j.

• Пример

Зная, что матрицы A и B равны, определите значения x и t.

Поскольку матрицы A и B равны, соответствующие элементы должны быть равны, поэтому:

х = -1 и t = 1

• Сложение и вычитание матриц

Операции сложение и вычитание между матрицами они довольно интуитивны, но сначала должно быть выполнено условие. Для выполнения этих операций сначала необходимо убедиться, что порядки массивов равны.

После проверки этого условия происходит сложение и вычитание матрицы путем добавления или вычитания соответствующих элементов матриц. Рассмотрим матрицы A = [a_ij]_mxn и B = [b_ij]_mxn, тогда:

А + В = [а_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - В_ij] _mxn

• Пример

Рассмотрим матрицы A и B ниже, определим A + B и A - B.

Тоже читай: Операции с целыми числами

• Умножение действительного числа на матрицу

Умножение действительного числа в матрице (также известное как умножение матриц) на скаляр дается путем умножения каждого элемента матрицы на скаляр.

Пусть A = [a_ij]_mxn матрица и t действительное число, поэтому:

t · A = [t · a_ij]_mxn

См. Пример:

• Умножение матриц

Умножение матриц не так тривиально, как их сложение и вычитание. Перед выполнением умножения также должно быть выполнено условие, касающееся порядка матриц. Рассмотрим матрицы A_mxn и B_nxr.

Чтобы выполнить умножение, количество столбцов в первой матрице должно равняться количеству строк во второй. Матрица продукта (полученная в результате умножения) имеет порядок, определяемый количеством строк в первой и количеством столбцов во второй.

Чтобы выполнить умножение между матрицами A и B, мы должны умножить каждую из строк на все столбцы следующим образом: первый элемент из A умножается на первый элемент B, а затем добавляется ко второму элементу A и умножается на второй элемент B, и поэтому последовательно. См. Пример:

Тоже читай: Теорема Лапласа: знайте, как и когда использовать

решенные упражнения

Вопрос 1 - (У. А ТАКЖЕ. Лондрина - П.Р.) Пусть матрицы A и B равны 3 x 4 и p x q соответственно, и если матрица A · B имеет порядок 3 x 5, то верно, что:

а) p = 5 и q = 5

б) p = 4 и q = 5

в) p = 3 и q = 5

г) p = 3 и q = 4

д) p = 3 и q = 3

Решение

У нас есть утверждение, что:

В_3x4 · B_pxq = C_3x5

Из условия умножения двух матриц мы получаем, что продукт существует только в том случае, если количество столбцов в первой равно количеству строк во второй, поэтому p = 4. И мы также знаем, что матрица продукта определяется количеством строк в первой и количеством столбцов во второй, поэтому q = 5.

Следовательно, p = 4 и q = 5.

A: Альтернатива b

Вопрос 2 - (Vunesp) Определите значения x, y и z по следующему равенству, используя вещественные матрицы 2 x 2.

Решение

Выполним операции между массивами, а затем равенство между ними.

Чтобы определить значения x, y и z, мы решим линейную систему. Сначала добавим уравнения (1) и (2).

2х - 4 = 0

2x = 4

х = 2

Подставляя значение x, найденное в уравнение (3), мы имеем:

2² = 2z

2z = 4

г = 2

И, наконец, подставляя значения x и z, найденные в уравнении (1) или (2), мы имеем:

х + у - г = 0

2 + у - 2 = 0

у = 0

Следовательно, решение проблемы определяется выражением S = {(2, 0, 2)}.

Робсон Луис
Учитель математики