Трехчлен полного квадрата - это 3-й случай факторизации алгебраических выражений. Его можно использовать только тогда, когда алгебраическое выражение является трехчленом (многочлен с тремя одночленами), и этот трехчлен образует полный квадрат.
что такое трехчленное
Трехчлен - это многочлен, у которого есть три одночлена без похожих членов, см. Примеры:
3x2 + 2x + 1
20x3 + 5x - 2x2
2ab + 5b + 3c
Не все перечисленные выше трехчлены можно вынести за скобки с помощью идеального квадрата.
что такое идеальный квадрат
Чтобы лучше понять, что такое идеальный квадрат, см.:
Можем ли мы считать число идеальным квадратом? Да, достаточно того, что это число является результатом возведения другого числа в квадрат, например: 25 - это полный квадрат, потому что 52 = 25.
Теперь мы должны применить это к алгебраическому выражению, посмотрите на квадрат ниже со сторонами x + y, значение этой стороны является алгебраическим выражением.
Чтобы вычислить площадь этого квадрата, мы можем использовать два разных способа:
1-й способ: формула для расчета квадратная площадь это A = Сторона2, поэтому, поскольку сторона этого квадрата равна x + y, просто возведите его в квадрат.
THE1 = (х + у)2
Результат этой области A1 = (х + у)2 это идеальный квадрат.
2-й способ: этот квадрат был разделен на четыре прямоугольника, каждый из которых имеет свою собственную площадь, поэтому сумма всех этих площадей является общей площадью самого большого квадрата, таким образом:
THE2 = х2 + ху + ху + у2, поскольку xy и xy похожи, мы можем добавить их
THE2 = х2 + 2xy + y2
Результат области A2 = х2 + 2xy + y2 является трехчленом.
Две найденные области представляют собой площадь одного квадрата, поэтому:
THE1 = А2
(х + у)2 = х2 + 2xy + y2
Итак, трехчлен x2 + 2xy + y2 иметь как идеальный квадрат (x + y)2.
Когда у нас есть алгебраическое выражение, и оно является трехчленом полного квадрата, его факторизованная форма представлена в виде полного квадрата, см.:
трехчлен x2 + 2xy + y2 факторизовано (x + y)2.
Как определить идеальный квадратный трехчлен
Как уже говорилось, не каждый трехчлен можно представить в виде полного квадрата. Теперь, когда задается трехчлен, как мы собираемся определить, является ли это идеальным квадратом или нет?
Чтобы трехчлен был идеальным квадратом, он должен обладать некоторыми характеристиками:
• Два члена (мономии) трехчлена должны быть квадратными.
• Один член (моном) трехчлена должен быть в два раза больше квадратного корня из двух других членов.
См. Пример:
Посмотрите, если трехчлен 16x2 + 8x + 1 - это идеальный квадрат, поэтому следуйте приведенным выше правилам:
Два члена трехчлена имеют квадратные корни, а удвоение их - средний член, поэтому трехчлен 16x2 + 8x + 1 - это полный квадрат.
Таким образом, факторизованная форма трехчлена 16x2 + 8x + 1 равно (4x + 1)2, так как это сумма квадратов корней.
См. Несколько примеров:
Пример 1:
Учитывая трехчлен m2 - m n + n2, мы должны искоренить члены m2 и нет2, корни будут m и n, дважды эти корни будут 2. м. n, который отличается от m члена n (средние члены), поэтому этот трехчлен не является полным квадратом.
Пример 2:
Учитывая 4х трехчлен2 - 8xy + y2, мы должны извлечь корни из членов 4x2 и у2, корни будут соответственно 2x и y. Удвоить эти корни должно быть 2. 2х. y = 4xy, что отличается от члена 8xy, поэтому этот трехчлен не может быть разложен на множители с использованием полного квадрата.
Пример 3:
Учитывая 1 + 9-й трехчлен2 - 6-й.
Прежде чем использовать правила идеального квадрата, мы должны расположить трехчлен в порядке возрастания экспонент, таким образом:
9-е2 - 6 + 1.
Теперь извлекаем корень из членов 9a2 и 1, которые будут соответственно 3a и 1. Удвоить эти корни будет 2. 3-й. 1 = 6a, что равно среднему члену (6a), поэтому мы заключаем, что трехчлен является полным квадратом, а его факторизованная форма равна (3a - 1)2.
Даниэль де Миранда
Окончила математику.
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-perfeito.htm