Сумма членов арифметической прогрессии

Один арифметическая прогрессия (PA) - это последовательность числовое, в котором каждый член является суммой предыдущего на константу, называемую отношением. Они существуют математические выражения для определения срока действия PA и расчета суммы его нет первые сроки.

Формула, используемая для расчета сумма сроков конечного ПА или суммы нет Первые члены ОО выглядят следующим образом:

s_нет = в₁ +_нет)
2

* n - количество терминов БП; В₁ это первый член, а_нет последний.

Происхождение суммы сроков ПА

Говорят, что немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, примерно в 10 лет, был наказан своим классом в школе. Учитель сказал ученикам сложить все числа, которые появляются в последовательность от 1 до 100.

Гаусс был не только первым, кто финишировал за очень короткий промежуток времени, он также был единственным, кто получил правильный результат (5050). Кроме того, никаких расчетов не было. Он отремонтировал следующее имущество:

Сумма двух членов, равноудаленных от крайних точек конечного PA, равна сумме крайних значений.

Не было знаний о КАСТРЮЛЯ в то время, но Гаусс просмотрел список чисел и понял, что добавление первого к последнему приведет к 101; добавив вторую к предпоследней, результат тоже будет 101 и так далее. Как сумма всех пар слагаемых равноудаленный из крайних значений дошло до 101, Гауссу нужно было только умножить это число на половину доступных членов, чтобы получить результат 5050.

Обратите внимание, что от числа 1 до числа 100 ровно 100 чисел. Гаусс понял, что если сложить их два на два, то получит 50 результатов, равных 101. Следовательно, это умножение было произведено на половину общего числа членов.

Демонстрация суммы сроков ОО

Этот подвиг породил выражение, используемое для вычисления сумма нет первые сроки ОО. Тактика, используемая для получения этого выражения, следующая:

учитывая один КАСТРЮЛЯ any, мы добавим первые n его членов. Математически у нас будет:

s_нет = the₁ +₂ +₃ +… +_{п - 2} +_{п - 1} +_нет

Чуть ниже этого сумма сроков, мы напишем еще один, с теми же условиями, что и предыдущий, но в убывающем смысле. Обратите внимание, что сумма членов в первом равна сумме членов во втором. Следовательно, оба были приравнены к S_нет.

s_нет = the₁ +₂ +₃ +… +_{п - 2} +_{п - 1} +_нет

s_нет = the_нет +_{п - 1} +_{п - 2} +… +₃ +₂ +₁

Обратите внимание, что эти два выражения были получены из одного КАСТРЮЛЯ и что эквидистантные члены выровнены по вертикали. Следовательно, мы можем добавить выражения, чтобы получить:

s_нет = the₁ +₂ +₃ +… +_{п - 2} +_{п - 1} +_нет

+ s_нет = the_нет +_{п - 1} +_{п - 2} +… +₃ +₂ +₁

2S_нет = (₁ +_нет) + (а₂ +_{п - 1}) +… + (A_{п - 1} +₂) + (а_нет +₁)

Помните, что сумма членов, равноудаленных от крайностей, равна сумме крайностей. Поэтому каждую круглую скобку можно заменить суммой крайних значений, как мы сделаем дальше:

2S_нет = (₁ +_нет) + (а₁ +_нет) +... + (₁ +_нет) + (а₁ +_нет)

Идея Гаусса заключалась в добавлении эквидистантных членов последовательности. Таким образом, он получил половину срока от КАСТРЮЛЯ в результатах 101. Мы сделали так, что каждый член начального БП добавлялся к его эквидистантному значению, сохраняя его количество терминов. Таким образом, поскольку в PA было n членов, мы можем изменить сумму в приведенном выше выражении умножением и решить уравнение найти:

2S_нет = (₁ +_нет) + (а₁ +_нет) +... + (₁ +_нет) + (а₁ +_нет)

2S_нет = n (a₁ +_нет)

s_нет = в₁ +_нет)
2

Это именно та формула, которая используется для добавления нет первые сроки ПА.

Пример

Учитывая P.A (1, 2, 3, 4), определите сумму его первых 100 членов.

Решение:

Нам нужно будет найти термин a₁₀₀. Для этого воспользуемся формула общего члена ПА:

В_нет = the₁ + (п - 1) г

В₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

В₁₀₀ = 1 + 99

В₁₀₀ = 100

Теперь формула суммирования первых n членов:

s_нет = в₁ +_нет)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm