Решение уравнений - повседневное занятие. Интуитивно мы решаем уравнения в повседневной жизни и даже не осознаем этого. Задав следующий вопрос: «Во сколько мне встать, чтобы пойти в школу, чтобы я не опаздывать?" и мы получили ответ, на самом деле мы просто решили уравнение, в котором неизвестным является время. Эти повседневные вопросы всегда побуждали математиков всех времен искать решения и методы решения уравнений.
Формула Баскара - один из самых известных методов решения уравнения. Это «рецепт», математическая модель, которая почти мгновенно дает корни уравнения 2-й степени. Интересно, что формул для решения уравнений не так много, как вы думаете. Уравнения третьей и четвертой степени очень сложно решить, и существуют формулы решения для простейших случаев этих типов уравнений.
Интересно знать, что степень уравнения определяет, сколько у него корней. Мы знаем, что уравнение 2-й степени имеет два корня. Следовательно, уравнение 3-й степени будет иметь три корня и так далее. Теперь давайте посмотрим, что происходит с некоторыми уравнениями.
Пример. Решите уравнения:
а) х2 + 3х - 4 = 0
Решение: Применяя формулу Баскары для решения уравнения 2-й степени, получаем:
Мы знаем, что a = 1, b = 3 и c = - 4. Таким образом,
Поскольку мы решаем уравнение 2-й степени, у нас есть два корня.
б) х3 – 8 = 0
Решение: В этом случае мы имеем неполное уравнение третьей степени с простым разрешением. 
Решение: в этом случае у нас есть неполное уравнение 4-й степени, также называемое уравнением двух квадратов. Решение этого типа уравнения также простое. Посмотрите:
уравнение x4 + 3x2 - 4 = 0 можно переписать следующим образом:
(Икс2)2 + 3x2 – 4 =0
делать х2 = t и подставив в приведенное выше уравнение, получим:
т2 + 3t - 4 = 0 → что является уравнением 2-й степени.
Мы можем решить это уравнение, используя формулу Баскары.
Эти значения не являются корнями уравнения, поскольку неизвестным является x, а не t. Но мы должны:
Икс2 = т
Потом,
Икс2 = 1 или x2 = – 4
из х2 = 1, получаем, что x = 1 или x = - 1.
из х2 = - 4, получаем, что не существует действительных чисел, удовлетворяющих уравнению.
Следовательно, S = {- 1, 1}
Обратите внимание, что в альтернативе В у нас было уравнение 2-й степени, и мы нашли два корня. В качестве альтернативы B мы решаем уравнение 3-й степени и находим только один корень. И уравнение предмета ç, это было уравнение 4-й степени, и мы нашли только два корня.
Как указывалось ранее, степень уравнения определяет, сколько корней оно имеет:
2 класс → два корня
3 класс → три корня
4 класс → четыре корня
Но что случилось с альтернативными уравнениями B а также ç?
Оказывается, уравнение степени n ≥ 2 может иметь действительные и комплексные корни. В случае уравнения третьей степени пункта b мы находим только один действительный корень, два других корня являются комплексными числами. То же верно и для уравнения в пункте c: мы находим два действительных корня, два других - комплексные.
О комплексных корнях справедлива следующая Теорема.
Если комплексное число a + bi, b ≠ 0, является корнем уравнения a0Икснет +1Иксп-1+... +п-1х + анет = 0 действительных коэффициентов, поэтому сопряженная с ним a - bi также является корнем уравнения.
Следствия теоремы следующие:
• Уравнение 2-й степени с действительными коэффициентами → имеет только действительные корни или два сопряженных комплексных корня.
• Уравнение 3-й степени с действительными коэффициентами → имеет только действительные корни или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
• Уравнение 4-й степени с действительными коэффициентами → имеет только действительные корни или два комплексно сопряженных корня и два действительных или только четыре комплексно сопряженных корня, два на два.
• Уравнение 5-й степени с действительными коэффициентами → имеет только действительные корни или два комплексных корня сопряженные и другой действительный или хотя бы один действительный корень и другие комплексные корни, два на два сопряжены.
То же верно и для уравнений со степенью больше 5.
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда
Комплексные числа - Математика - Бразильская школа
Хотели бы вы использовать этот текст в учебе или учебе? Посмотрите:
РИГОНАТТО, Марсело. «Количество корней уравнения»; Бразильская школа. Доступно в: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm. Доступ 29 июня 2021 г.
