Он известен как Рациональное число каждое число, которое можно представить в виде несократимой дроби. На протяжении всей истории человечества представление о числе постепенно развивалось в соответствии с человеческими потребностями. Представление чисел в дробях, например, решало задачи, которые решались только с помощью целые числа.
Рациональное число может быть представлено дробью, поэтому существуют методы преобразования целых чисел, десятичные числа точные и периодические десятичные дроби в дробях.
Читайте тоже: Операции с дробями - как решить?
Что такое рациональные числа?
Рациональные числа расширение набора целых чисел, то, кроме целых чисел, были добавлены все фракции. O набор рациональных чисел представлены:
Это представление говорит о том, что число является рациональным, если его можно представить в виде дроби В о B, такое что В целое число и B ненулевое целое число. Но если мы хотим определять рациональные числа менее строго, мы можем сказать следующее:
Рациональные числа - это все числа, которые можно представить в виде дроби. |
Встречайте это определение:
ты целые числаs, например: -10, 7, 0;
ты точные десятичные числа, например: 1,25; 0,1; 3,1415;
в простые периодические десятины, например: 1.424242…;
в сложная периодическая десятина, например: 1.0288888…
Нет рациональные числа:
В непериодическая десятина, например: 4,1239489201…;
В корнеплодыне совсем, Например:
;- В лягушкаяz площадь отрицательные числа, Например:
.
Наблюдение: Существование нерациональных чисел вызывает появление других множеств, таких как иррациональные числа и комплексные числа.
Представление рациональных чисел
Понимая, что дробь - это разделение двух целых чисел, чтобы быть рациональным числом, вы можете представить это число в виде дроби. Следовательно, каждый из случаев, упомянутых выше как рациональные числа (целые числа, точные десятичные дроби и периодические десятичные дроби), может быть представлен как дробь.
целые числа
Существует бесконечное множество возможностей для представления целого числа в виде дроби, поскольку дробь может быть представлена в неразложимой форме или нет.
Примеры:
точные десятичные дроби
Чтобы превратить точное десятичное число в доля, мы считаем количество чисел в его десятичной части, то есть после десятичной точки. Если после запятой стоит число, мы запишем целую часть плюс десятичную часть без запятой больше 10. Если в десятичной части два числа больше 100, на практике количество чисел в десятичной части будет равно количеству нулей в знаменателе. См. Пример:
периодические десятины
Найти дробное представление десятины - не всегда легкая задача, что мы называем генерирующая фракция. Чтобы облегчить эту работу, было замечено, что в уравнении, которое мы использовали для нахождения производящей дроби, есть закономерности, которые позволили разработать практический метод.
Во-первых, нам нужно понять, что существует два типа периодических десятин: простая и сложная. Один десятина проста если в его десятичной части есть только повторяющаяся часть, то есть точка. Один десятина сложная если в его десятичной части есть непериодическая часть.
Пример:
9,323232… → простой периодический десятичный
Целая часть равна 9.
Период равен 32.
8,7151515… → сложная периодическая десятина
Целая часть равна 8.
Непериодическая десятичная часть равна 7.
Период равен 15.
Смотрите также: Эквивалентные дроби - дроби, представляющие одинаковое количество
→ 1-й случай: генерация дроби простой периодической десятичной дроби
В первом случае, чтобы превратить простую периодическую десятичную дробь в дробь На практике просто напишите всю часть плюс точку без запятой в числителе. В знаменателе для каждого элемента периодической части мы добавляем 9.
Пример:
Образующая дробь 9,323232…, как мы видели, имеет период, равный 32, то есть два числа в ее периоде, поэтому знаменатель равен 99. Целая часть плюс периодическая часть без запятой составляет 932, что является числителем. Итак, образующая часть этой десятины составляет:
→ 2-й случай: генерация дроби составного периодического десятичного числа
Периодическая составная десятина немного сложнее. Давайте найдем долю десятины, над которой мы работали в этом примере.
8,7151515… → составной периодический десятичный.
Целая часть равна 8.
Непериодическая десятичная часть равна 7.
Десятичная часть периода равна 15.
В числителе будет вычитание 8715 - 87, то есть разница между числом, идущим от целой части к периодической части с неповторяющейся частью десятины.
Числитель будет 8715 - 87 = 8628.
Чтобы найти знаменатель, проанализируем десятичную часть. Сначала давайте посмотрим на непериодическую и периодическую десятичную часть. В этом случае десятичная часть числа равна 715. Для каждого числа, которое находится в периодической части, добавим 9 в начале знаменателя. Поскольку периодическая часть в данном случае имеет два числа (15), в знаменателе будет две девятки. Для каждого непериодического числа в десятичной части мы добавим 0 в конце знаменателя, который будет 990.
Вскоре генерирующая фракция десятины будет:
Свойства рациональных чисел
Между двумя рациональными числами всегда будет другое рациональное число.
Интересно подумать, что это свойство, о котором много говорили древние народы, стало парадоксом. Выбирая два рациональных числа, между ними всегда будет число.
Пример:
Между 1 и 2 получается 1,5; между 1 и 1,5 получается 1,25; между 1 и 1,25 находится 1,125 и так далее. Поскольку я выбираю два рациональных числа с очень небольшой разницей между ними, всегда можно найти рациональное число между ними. Это свойство делает невозможно определить преемника и предшественника в рациональных числах.
Четыре операции над множеством рациональных чисел замкнуты.
Мы говорим, что множество закрыто для сумма, например, если сумма двух рациональных чисел всегда дает в качестве ответа другое рациональное число. Вот что происходит с четырьмя операциями над Q.
В сложение, вычитание, деление и умножение между двумя рациональными числами всегда приводит к рациональному числу. Фактически, даже потенцирование рационального числа всегда будет давать в ответ рациональное число.
Набор рациональных чисел не закрыт для радиация. Таким образом, мпоскольку 2 - рациональное число, квадратный корень из 2 является иррациональное число.
Смотрите также: Эквивалентные дроби - дроби, представляющие одинаковое количество
Подмножества рациональных чисел
Мы знаем как подмножества или отношение включения - множества, образованные элементами, принадлежащими множеству рациональных чисел. Есть несколько возможных подмножеств, как набор целых чисел или естественный, потому что каждое целое число рационально, так же как любое натуральное число рационально.
Пример:
Набор целых чисел: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Когда это происходит, мы говорим, что Z ⸦ Q (Он гласит: Z содержится в Q или набор целых чисел содержится в наборе рациональных чисел.)
Есть некоторые символы, которые необходимы для создания подмножеств Q, это: +, - и *, которые означают, соответственно, положительное, отрицательное и ненулевое значение.
Примеры:
Q * → (читается: множество ненулевых рациональных чисел.)
Q+ → (читается: множество положительных рациональных чисел.)
Q- → (читается: множество отрицательных рациональных чисел.)
Q*+ → (читается: множество положительных и ненулевых рациональных чисел.)
Q*- → (читается: множество отрицательных и ненулевых рациональных чисел.)
Обратите внимание, что все эти множества являются подмножествами Q, поскольку все элементы принадлежат множеству рациональных чисел. Помимо представленных наборов, мы можем работать с несколькими подмножествами в Q, такими как набор, образованный нечетными числами, или кузены, или пары, наконец, есть несколько и несколько возможностей подмножеств.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
