Операции с комплексными числами в тригонометрической форме облегчают расчет с использованием элементов этого набора. Умножение и деление комплексов в тригонометрической форме выполняется почти мгновенно, в то время как в алгебраической форме этот процесс требует дополнительных вычислений. Потенцирование и излучение комплексов в тригонометрической форме также облегчается с использованием формул Муавра. Посмотрим, как происходит укоренение этих чисел:
Рассмотрим любое комплексное число z = a + bi. Тригонометрическая форма z:
Корни n-индекса z задаются второй формулой Муавра:
Пример 1. Найдите квадратные корни из 2i.
Решение: Сначала мы должны записать комплексное число в тригонометрической форме.
Все комплексные числа имеют вид z = a + bi. Итак, нам необходимо:
Мы также знаем, что:
По значениям синуса и косинуса мы можем заключить, что:
Таким образом, тригонометрическая форма z = 2i:
Теперь давайте вычислим квадратные корни из z по формуле Муавра.
Поскольку нам нужны квадратные корни из z, мы получим два различных корня z
При k = 0 будем иметь
При k = 1 мы будем иметь:
Или же
Пример 2. Получите кубические корни из z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Решение: поскольку комплексное число уже имеет тригонометрическую форму, просто используйте формулу Муавра. Из утверждения следует, что ø = π и | z | = 1. Таким образом,
У нас будет три различных корня, z0, z1 и z2.
Для k = 0
Для k = 1
Или z1 = - 1, поскольку cos π = - 1 и sin π = 0.
Для k = 2
Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда
Комплексные числа - Математика - Бразильская школа
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm