Излучение комплексных чисел в тригонометрической форме

Операции с комплексными числами в тригонометрической форме облегчают расчет с использованием элементов этого набора. Умножение и деление комплексов в тригонометрической форме выполняется почти мгновенно, в то время как в алгебраической форме этот процесс требует дополнительных вычислений. Потенцирование и излучение комплексов в тригонометрической форме также облегчается с использованием формул Муавра. Посмотрим, как происходит укоренение этих чисел:
Рассмотрим любое комплексное число z = a + bi. Тригонометрическая форма z:

Корни n-индекса z задаются второй формулой Муавра:

Пример 1. Найдите квадратные корни из 2i.
Решение: Сначала мы должны записать комплексное число в тригонометрической форме.
Все комплексные числа имеют вид z = a + bi. Итак, нам необходимо:

Мы также знаем, что:


По значениям синуса и косинуса мы можем заключить, что:

Таким образом, тригонометрическая форма z = 2i:

Теперь давайте вычислим квадратные корни из z по формуле Муавра.

Поскольку нам нужны квадратные корни из z, мы получим два различных корня z

0 и z1.
При k = 0 будем иметь

При k = 1 мы будем иметь:

Или же

Пример 2. Получите кубические корни из z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Решение: поскольку комплексное число уже имеет тригонометрическую форму, просто используйте формулу Муавра. Из утверждения следует, что ø = π и | z | = 1. Таким образом,

У нас будет три различных корня, z0, z1 и z2.
Для k = 0

Для k = 1

Или z1 = - 1, поскольку cos π = - 1 и sin π = 0.
Для k = 2

Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда

Комплексные числа - Математика - Бразильская школа

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm

Бесконечное пространство? Бесконечное пространство?

До недавнего времени все считали, что Вселенная бесконечна (включая научный класс), в школах этой...

read more
Площадь поверхности человеческого тела

Площадь поверхности человеческого тела

Математические исследования представлены в нескольких областях человеческого знания. В медицине, ...

read more
Биномиальные свойства Ньютона

Биномиальные свойства Ньютона

Мы можем перечислить биномиальные коэффициенты в таблице, называемой треугольником Паскаля или Та...

read more