рассчитать факториал числа имеет смысл только тогда, когда мы работаем с натуральными числами. Эта операция довольно часто встречается в комбинаторный анализ, облегчая расчет расстановок, перестановок, комбинаций и других задач, связанных со счетом. Факториал обозначается символом «!». Мы определяем это как n! (n факториал) к умножение n на всех его предшественников пока не дойдете до 1. нет! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Читайте тоже: Фундаментальный принцип счета - основная концепция комбинаторного анализа.
Что такое факториал?
Факториал - очень важная операция для изучения и развития комбинаторного анализа. В математике число, за которым следует восклицательный знак (!) называется факториалом, например x! (x факториал).
Мы знаем как факториал натуральное число В умножение этого числа на его предшественников, кроме нуля, то есть:
нет! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Примечательно, что для того, чтобы эта операция имела смысл, n - натуральное число, то есть мы не вычисляем факториал отрицательного числа, даже десятичного числа или дробей.
факториальный расчет
Чтобы найти факториал числа, просто вычислите произведение. Также обратите внимание, что факториал - это операция, которая, когда увеличьте значение n, результат тоже сильно увеличится.
Примеры:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
По определению мы имеем:
0! = 1
1! = 1
Факторные операции
При решении факторных операций важно соблюдать осторожность и не допускать ошибок. Когда мы собираемся сложить, вычесть или умножить два факториала, необходимо вычислить каждый из них отдельно. Только в отделении есть конкретные способы проведения упрощений. Не совершайте ошибку, выполняя операцию и сохраняя факториал., либо для сложения и вычитания, либо для умножения.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Решая любую из этих операций, мы должны вычислить каждый из факториалов.
Примеры:
а) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
б) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
в) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Смотрите также: Как решить уравнение с факториалом?
Факторное упрощение
Разделения довольно часты. В формулах комбинация, расположение и перестановка с повторением, мы всегда будем прибегать к упрощению для решения задач, связанных с факториалом. Для этого давайте сделаем несколько шагов.
Пример:
1 шаг: определите самый большой из факториалов - в данном случае это 8! Теперь, глядя на знаменатель, который равен 5!, давайте запишем умножение 8 на его предшественники, пока мы не дойдем до 5 !.
Факториал числа n, то есть n!, можно переписать как произведение n на k!. Таким образом,
нет! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, так что давайте перепишем 8! нравится умножение с 8 на 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Итак, давайте перепишем причину как:
2-й шаг: после переписывания причина, числитель можно упростить со знаменателем, так как 5! он находится как в числителе, так и в знаменателе. После упрощения просто произведите умножение.
Пример 2:
Комбинаторный и факторный анализ
При выполнении При дальнейшем изучении комбинаторного анализа факториал числа всегда будет появляться. Основные группировки в комбинаторном анализе, а именно перестановка, комбинация и упорядочение, используют в своих формулах факториал числа.
Перестановка
THE перестановка и переупорядочивание всех элементов набора. Чтобы вычислить перестановку, мы прибегаем к факториалу, поскольку перестановка n элементов рассчитывается следующим образом:
пнет = п!
Пример:
Сколько анаграммы мы можем построить с именем HEITOR?
Это типичная проблема перестановки. Поскольку в названии 6 букв, чтобы вычислить количество возможных анаграмм, просто вычислите P6.
п6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Также доступ: Перестановка с повторяющимися элементами: как решить?
Договоренности
Рассчитать договоренности это также требует владения факториалом числа. Расстановка, как и перестановка, - это формирование переупорядочения. Разница в том, в аранжировке мы переупорядочиваем часть набора, то есть мы хотим знать, сколько возможных переупорядочений мы можем сформировать, выбрав количество k, равное одному набор с n элементами.
Пример:
В компании есть 6 кандидатов на управление учреждением, из которых двое будут выбраны на должности директора и заместителя директора. Зная, что они будут избраны голосованием, сколько существует возможных результатов?
В этом случае мы рассчитаем расположение 6 из 2 на 2, так как на две вакансии 6 кандидатов.
Комбинация
В комбинации, как и в других, необходимо освоить факториал числа. Мы определяем как комбинацию ты подмножества набора. Разница в том, что в комбинации нет переупорядочивания, потому что порядок не важен. Итак, мы вычисляем, сколько подмножеств из k элементов мы можем сформировать в наборе из n элементов.
Пример:
Для представления класса будет выбран комитет из 3 студентов. Сколько комиссий можно сформировать, зная, что есть 5 кандидатов?
Читайте тоже: Композиция или комбинация?
Решенные упражнения
Вопрос 1 - О факториале числа судите по следующим утверждениям.
Я). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
А) Верно только я.
Б) Верно только II.
В) Верно только III.
Г) Только I и II верны.
E) Только II и II верны.
разрешение
Альтернатива А.
I) Верно.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Неверно.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Неверно.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Вопрос 2 - (UFF) Является ли произведение 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 эквивалентным?
А) 20: 2
Б) 2 · 10!
В) 20: 210
Г) 210· 10!
Д) 20!: 10!
разрешение
Альтернатива D.
Глядя на произведение всех четных чисел от 2 до 20, мы знаем, что:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Таким образом, мы можем переписать как 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
