Упрощение алгебраической дроби

Когда слово «алгебраический» используется для числового выражения, это означает, что это выражение имеет по крайней мере одно неизвестное, то есть букву или символ, используемый для представления числа неизвестный. Таким образом, алгебраическая дробь, в свою очередь, представляет собой не что иное, как дробь, в которой есть хотя бы одно неизвестное. знаменатель (нижняя часть дроби). Следовательно упрощение алгебраических дробей следует той же основе, что и упрощение числовых дробей.

Примеры алгебраических дробей:

1)

2x
4 года

2)

4 года² - 9x²
2 года + 3 раза

Упрощение алгебраических дробей

Упрощение алгебраической дроби основывается на том же основании, что и упрощение числовой дроби. Необходимо разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Обратите внимание на пример упрощения дроби:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Вышеупомянутая дробь была упрощена на 2, затем на 3, а затем на 5. Для поддержки процедуры упрощение алгебраических дробей, мы перепишем первую дробь выше в ее факторизованном виде:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Обратите внимание, что числа 2, 3 и 5 повторяются в числителе и знаменателе и что они были точно такими же числами, какими была упрощена дробь. В контексте алгебраические дроби, процедура аналогична, так как необходимо разложить на множители многочлены, присутствующие в числителе и знаменателе. После этого мы должны оценить, можно ли упростить некоторые из них..

Примеры

1) Упростите следующую алгебраическую дробь:

4x²у³
16xy⁶

Разложите на множители каждое из неизвестных и чисел, представленных в дроби:

4x²у³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Теперь выполните как можно больше делений, как вы делали раньше для числовой дроби: Цифры, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе, исчезают, то есть они "резать". Также можно написать, что результатом каждого из этих упрощений будет 1. Смотреть:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Икс
2 · 2 · год · год · год

Икс
4 года³

2) Упростите следующую алгебраическую дробь:

4 года² - 9x²
2 года + 3 раза

Обратите внимание, что числитель этого алгебраическая дробь попадает в один из случаев заметных продуктов, то есть разница в два квадрата. Чтобы учесть это, просто перепишите его в разложенной форме. После этого можно «вырезать» члены, которые появляются как в знаменателе, так и в числителе, как в предыдущем примере. Смотреть:

4 года² - 9x²
2 года + 3 раза

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2 года + 3 раза

= 1 · (2y - 3x)

= 2у + 3х

3) Упростите следующую алгебраическую дробь:

В²(y² - 16x²)
ау + 4ах

Как и раньше, разложите на множители многочлены, представленные в числителе и знаменателе. После этого проведите возможные деления.

В²(y² - 16x²)
ау + 4ах

= В·В·(y + 4x) (y - 4x)
а · (у + 4х)

Обратите внимание, что числитель был разложен на множители разница в два квадрата а знаменатель вычислялся через общий множитель. Кроме того, термин a² можно записать как произведение a · a. Наконец, выполните как можно больше делений. А именно, a by a и (y + 4x) by (y + 4x):

В·В·(y + 4x) (y - 4x)
а · (у + 4х)

= 1 · 1 · (y - 4x)

= у - 4x

Случаи факторизации имеют первостепенное значение для упрощения алгебраических дробей. Ниже перечислены наиболее важные случаи и некоторые страницы, на которых их можно найти более подробно.

Факторинг алгебраических выражений

Многочлен может быть записан в его факторизованной форме, если он может быть выражен в одной из четырех форм ниже. Представленные результаты являются их факторизованной формой или примерами того, как их учитывать:

1 - Общий коэффициент

Если все члены многочлена имеют неизвестное или какое-то общее число, их можно представить в качестве доказательства. Например, в полиноме 4x² + 2x мы можем положить 2x в доказательство. В результате получится:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Обратите внимание, что при выполнении умножения, указанного для второго члена (правая часть равенства), результат будет именно первый член (левая часть равенства) из-за распределительного свойства умножение.

2 - Группировка

Принимая во внимание предыдущий случай, многочлен, состоящий из четырех членов, может быть разложен на множители путем группировки, объединения общие термины два на два, и позже будут снова учтены, если результаты оставят это возможность. Например, 2x + bx + 2y + по полиному можно разложить на множители следующим образом:

2x + bx + 2y + по

х (2 + b) + y (2 + b)

Обратите внимание, что (2 + b) повторяется в обоих новых членах. Итак, мы можем представить это в качестве доказательства:

х (2 + b) + y (2 + b)

(2 + б) (х + у)

3 - Трехчлен полного квадрата

Всякий раз, когда многочлен является трехчленом в виде полного квадрата, он будет записан эквивалентным одному из следующих трех выражений, расположенных слева красным цветом.

Икс² + 2x + а² = (х + а) (х + а)

Икс² - 2x + а² = (х - а) (х - а)

Икс² - а² = (х + а) (х - а)

Правая часть - это факторизованная форма многочлена, которую можно использовать для упрощение алгебраической дроби.

4 - Сумма или разность двух кубиков

Всякий раз, когда многочлен находится в следующей форме или может быть записан в него, это будет сумма двух кубов.

Икс³ + 3x²при + 3x² +³ = (х + а)³

Икс³ - 3x²при + 3x² - а³ = (х - а)³

Опять же, левая часть красного цвета - это многочлен, который можно разложить на множители и переписать, как выражения в правой части.

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm